[论文解读] The density of expected persistence diagrams and its kernel based estimation

Frédéric Chazal, Vincent Divol|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 33被引用 24

一句话总结

该论文在广泛条件下证明了随机数据（如通过Rips或Cech过滤生成的点云，或布朗运动的下水平集）的期望持久图具有勒贝格密度。此外，论文表明流行的拓扑特征映射——持久图表面——等价于该底层密度的核密度估计器，并提出了一种通过交叉验证选择带宽的方法，该方法在统计上是一致的。

ABSTRACT

Persistence diagrams play a fundamental role in Topological Data Analysis where they are used as topological descriptors of filtrations built on top of data. They consist in discrete multisets of points in the plane $\mathbb{R}^2$ that can equivalently be seen as discrete measures in $\mathbb{R}^2$. When the data come as a random point cloud, these discrete measures become random measures whose expectation is studied in this paper. First, we show that for a wide class of filtrations, including the Čech and Rips-Vietoris filtrations, the expected persistence diagram, that is a deterministic measure on $\mathbb{R}^2$ , has a density with respect to the Lebesgue measure. Second, building on the previous result we show that the persistence surface recently introduced in [Adams & al., Persistence images: a stable vector representation of persistent homology] can be seen as a kernel estimator of this density. We propose a cross-validation scheme for selecting an optimal bandwidth, which is proven to be a consistent procedure to estimate the density.

研究动机与目标

• 在广义随机过滤模型下，建立期望持久图具有勒贝格密度的存在性。
• 形式化持久图表面与期望图密度核密度估计之间的联系。
• 为拓扑特征核密度估计中的带宽选择开发一种统计上一致的交叉验证程序。
• 为统计学习中的拓扑描述子提供非渐近理论基础。

提出的方法

• 将持久图表示为R²上的离散测度，从而实现其期望的测度论分析。
• 证明对于一大类过滤（包括Rips-Vietoris、Cech，以及布朗运动的下水平集）而言，期望图相对于勒贝格测度具有密度。
• 将持久图表面识别为该底层密度的核密度估计器，使用权重函数和光滑核。
• 制定一种交叉验证方案，以选择最优带宽矩阵，从而最小化集成均方误差的样本估计。
• 将该方法应用于合成数据和真实世界数据（如智能手机加速度计时间序列）以验证性能。
• 使用对数尺度的带宽网格，并基于图之间成对的核评估计算得分，以估计最优平滑参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于Rips和Cech等常见过滤，随机过滤的期望持久图是否具有勒贝格密度？
• RQ2 持久图表面能否被解释为期望持久图密度的核密度估计器？
• RQ3 是否存在一种原则性且一致的带宽选择方法用于持久图表面估计？
• RQ4 该交叉验证程序在合成数据和真实数据上的实际表现如何？
• RQ5 在存在变异性的情况下，该方法在多大程度上能恢复真实的拓扑信号，同时抑制噪声？

主要发现

• Rips、Cech以及布朗运动下水平集过滤的期望持久图相对于勒贝格测度具有密度。
• 持久图表面在数学上等价于期望图密度的核密度估计器。
• 所提出的带宽选择交叉验证程序被证明是一致的，确保收敛到最优平滑参数。
• 在合成数据上，该方法成功恢复了主要的拓扑特征，三类数据对应的最优带宽分别为h=0.22、0.60和0.17。
• 在真实加速度计数据上，方法选择的带宽为0.0089、0.01833和0.0089，生成的持久图表面能够清晰区分行走模式。
• 该方法有效抑制了拓扑噪声，如在环面的持久图表面中，尽管图的变异性较大，但仅显示出两个主导区域。