[论文解读] The density of primes in orbits of z^d + c

Spencer Hamblen, Rafe Jones+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了对于定义在包含本原 $ d $-次单位根的全局域 $ K $ 上的多项式 $ f(z) = z^d + c $，在以下两种独立条件下，任意 $ a_0 \in K $ 的轨道中元素所被整除的素理想集合的狄利克雷密度为零：(1) 当 $ c $ 是 $ v $-进单位且剩余特征标与 $ d $ 互素时；(2) 当 $ f $ 的某些迭代可分解为不可约因子，且其取值在 $ K $ 中不是 $ d $-次幂时。该结果将先前关于二次映射的结果推广至高次多项式，并运用了在分歧理论与不可约性界方面的新技术。

ABSTRACT

Given a polynomial f(z) = z^d + c over a global field K and a_0 in K, we study the density of prime ideals of K dividing at least one element of the orbit of a_0 under f. The density of such sets for linear polynomials has attracted much study, and the second author has examined several families of quadratic polynomials, but little is known in the higher-degree case. We show that for many choices of d and c this density is zero for all a_0, assuming K contains a primitive dth root of unity. The proof relies on several new results, including some ensuring the number of irreducible factors of the nth iterate of f remains bounded as n grows, and others on the ramification above certain primes in iterated extensions. Together these allow for nearly complete information when K is a global function field or when K=Q(zeta_d).

研究动机与目标

• 确定在全局域 $ K $ 上，映射 $ f(z) = z^d + c $ 下 $ a_0 \in K $ 的前向轨道中元素所被整除的素理想的狄利克雷密度。
• 将关于二次映射轨道中素理想密度的已知结果推广至更高次多项式 $ z^d + c $（其中 $ d > 2 $）。
• 在 $ K $ 包含本原 $ d $-次单位根的条件下，建立该密度为零的条件。
• 通过局部与全局扩张中的不可约性与分歧分析，研究迭代多项式的算术结构。

提出的方法

• 基于 $ K_v $（即 $ K $ 在非阿基米德赋值 $ v $ 处的完备化）的 $ p $-进扩张中的分歧次数，采用局部方法证明条件 (1)。
• 应用一种全局方法，扩展 Jones (2008) 的技术至高次多项式，分析 $ f^n(z) $ 的不可约因子的取值是否为 $ K $ 中的非 $ d $-次幂。
• 建立 $ n $-重迭代 $ f^n(z) $ 的不可约因子数目的界，表明当 $ n \to \infty $ 时，该数目保持一致有界。
• 在 $ \mathbb{Q}(\zeta_d) $ 中运用乘积公式与范数估计，排除 $ d $-次幂的存在，尤其针对 $ d $ 为素数的情形。
• 将问题约化为证明 $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $ 中某些代数整数不是 $ p $-次幂，利用模 $ p $ 的同余论证。
• 利用伽罗瓦共轭与范数比较，证明对所有 $ 0 < i < p $，$ f^{n-1}(0) + r\zeta_p^i $ 在 $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $ 中不能是 $ p $-次幂。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ f(z) = z^d + c $ 下 $ a_0 $ 的轨道所被整除的素理想集合在狄利克雷密度意义下是稀疏的？
• RQ2 能否将关于二次映射的素理想密度结果推广至更高次多项式 $ z^d + c $（其中 $ d > 2 $）？
• RQ3 当 $ K $ 中存在本原 $ d $-次单位根时，它如何影响迭代多项式轨道的算术结构？
• RQ4 局部域 $ K_v $ 中的分歧行为在控制轨道元素所被整除的素理想密度方面起什么作用？
• RQ5 在何种情况下 $ f^n(0) $ 在 $ K $ 中不是 $ d $-次幂，且这与迭代的不可约性有何关联？

主要发现

• 对于定义在包含本原 $ d $-次单位根的全局域 $ K $ 上的多项式 $ f(z) = z^d + c $，若存在一个非阿基米德赋值 $ v $ 满足 $ |c|_v < 1 $ 且剩余特征标与 $ d $ 互素，则轨道中任意元素所被整除的素理想集合的狄利克雷密度为零。
• 在条件 (2) 下，若 $ f^j(z) $ 可分解为不可约因子 $ g_i(z) $，且对所有 $ k \geq 1 $，$ \pm g_i(f^k(0)) $ 在 $ K $ 中均非 $ d $-次幂，则密度为零。
• 当 $ n \to \infty $ 时，$ n $-重迭代 $ f^n(z) $ 的不可约因子数目保持有界，这是实现密度分析的关键技术结果。
• 当 $ K = \mathbb{Q}(\zeta_d) $ 时，若 $ d $ 为素数且 $ f^n(0) $ 在 $ \mathbb{Z} $ 中不是 $ d $-次幂，则密度为零；若 $ c $ 在 $ \mathbb{Z} $ 中不是 $ d $-次幂，则对所有 $ n \geq 1 $，该条件均成立。
• 当 $ d = p $ 为奇素数且 $ c = r^p $ 时，$ f^n(0) + r\zeta_p^i $ 在 $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $ 中不是 $ p $-次幂，该结论通过范数估计与模 $ p $ 约化得以证明。
• 对于全局函数域以及 $ K = \mathbb{Q}(\zeta_d) $ 的情形，结果几乎完备，且在 $ c $ 的广泛条件下已确立密度为零。