[论文解读] The density of the terms in an elliptic divisibility sequence having a fixed G.C.D. with their index

Seoyoung C. Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文建立了椭圆除法序列（EDS）中集合 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$ 的结构表征及渐近密度公式。证明了 $\mathscr{A}_{E,k}$ 的渐近密度存在且为正，当且仅当该集合非空，并在椭圆曲线的 Frobenius 迹分布及相关级数收敛的条件下，利用 Möbius 函数给出了显式密度公式：$\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{u(d)}{l(dk)}$。

ABSTRACT

Let $\mathbf{D}=(D_{n})_{n\geq 1}$ be an elliptic divisibility sequence associated to the pair $(E,P)$. For a fixed integer $k$, we define $\mathscr{A}_{E,k}=\{n\geq 1 : \gcd(n,D_{n})=k\}$. We give an explicit structural description of $\mathscr{A}_{E,k}$. Also, we explain when $\mathscr{A}_{E,k}$ has positive asymptotic density using bounds related to the distribution of trace of Frobenius of $E$. Furthermore, we get explicit density of $\mathscr{A}_{E,k}$ using the Möbius function.

研究动机与目标

• 针对与椭圆曲线 $E$ 和点 $P$ 关联的椭圆除法序列 $\mathbf{D}$，表征集合 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$。
• 确定 $\mathscr{A}_{E,k}$ 具有正渐近密度的条件，并将其与 $E$ 的 Frobenius 迹分布联系起来。
• 利用 Möbius 函数和最小公倍数 $l(n) = \mathrm{lcm}(n, r_n)$（其中 $r_n$ 是 $n$ 在 $\mathbf{D}$ 中的出现阶）推导 $\mathscr{A}_{E,k}$ 渐近密度的显式公式。
• 将已知的斐波那契序列结果推广到更复杂的椭圆除法序列设定，考虑不同曲线与点的结构。
• 建立无限级数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$ 收敛且等于 $\mathscr{A}_{E,k}$ 渐近密度的条件。

提出的方法

• 定义 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$，其中 $D_n$ 是椭圆曲线 $E$ 上点 $[n]P$ 的 $x$-坐标的分母。
• 引入 $r_n = \min\{r \geq 1 : n \mid D_r\}$，即 $n$ 的出现阶，以及 $l(n) = \mathrm{lcm}(n, r_n)$，该量控制 EDS 中的可除性行为。
• 构造集合 $\mathscr{L}_k = \{p : p \mid k\} \cup \left\{ \frac{l(kp)}{l(k)} : p \nmid k \right\}$，并定义 $\mathscr{N}(\mathscr{L}_k)$ 为不被 $\mathscr{L}_k$ 中任意元素整除的整数集合。
• 证明 $\mathscr{A}_{E,k} = \{ l(k)m : m \in \mathscr{N}(\mathscr{L}_k) \}$，从而对索引集提供了结构描述。
• 利用 Frobenius 迹分布的界，建立 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k})$ 存在且为正的条件。
• 在级数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)} < \infty$ 收敛的假设下，通过 Möbius 反演和绝对收敛性，推导出密度公式 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，椭圆除法序列中集合 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$ 具有正的渐近密度？
• RQ2 集合 $\mathscr{A}_{E,k}$ 的精确结构形式为何？其如何用最小公倍数 $l(n)$ 和出现阶 $r_n$ 描述？
• RQ3 能否用 Möbius 函数以闭式表达 $\mathscr{A}_{E,k}$ 的渐近密度？该公式在何种收敛假设下成立？
• RQ4 椭圆曲线 $E$ 的 Frobenius 迹分布如何影响 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k})$ 的存在性与正性？
• RQ5 结果在多大程度上推广了已知的斐波那契序列情形？在椭圆除法序列背景下出现了哪些新挑战？

主要发现

• 在假设 $E$ 不是 CM 曲线，或为 CM 曲线但仅有限次异常（即对所有但有限多个 $p$ 有 $E(\mathbb{F}_p) \neq p$）的条件下，集合 $\mathscr{A}_{E,k}$ 非空当且仅当其具有正的渐近密度。
• 若级数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$ 收敛，则 $\mathscr{A}_{E,k}$ 的渐近密度为 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$。
• 结构描述 $\mathscr{A}_{E,k} = \{ l(k)m : m \in \mathscr{N}(\mathscr{L}_k) \}$ 完全以一组禁止除数 $\mathscr{L}_k$ 描述了索引集。
• 级数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$ 的收敛性对密度公式的有效性至关重要，其依赖于 $E$ 的 Néron 模型纤维的群结构。
• 数值例子表明，部分和 $\sum_{d=1}^n \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$ 增长极为缓慢，提示该收敛条件对许多曲线而言是合理的。
• 该密度公式推广了斐波那契情形：对斐波那契序列有 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{F,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$，本文在适当条件下将此结果扩展至 EDS。