[论文解读] The derived non-commutative Poisson bracket on Koszul Calabi-Yau algebras

Xiaojun Chen, Alimjon Eshmatov+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文在Koszul与N-Koszul Calabi-Yau代数上建立了导出的非交换Poisson结构，表明其在循环同调上诱导出一个分次李代数结构，并在Hochschild同调上诱导出一个李模结构。证明了Connes长正合列是一个李模序列，且Leibniz-Loday括号自然映射到Koszul对偶代数的Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号，从而在非交换Poisson几何与同调代数之间建立了深刻联系。

ABSTRACT

Let $A$ be a Koszul (or more generally, $N$-Koszul) Calabi-Yau algebra. Inspired by the works of Kontsevich, Ginzburg and Van den Bergh, we show that there is a derived non-commutative Poisson structure on $A$, which induces a graded Lie algebra structure on the cyclic homology of $A$; moreover, we show that the Hochschild homology of $A$ is a Lie module over the cyclic homology and the Connes long exact sequence is in fact a sequence of Lie modules. Finally, we show that the Leibniz-Loday bracket associated to the derived non-commutative Poisson structure on $A$ is naturally mapped to the Gerstenhaber bracket on the Hochschild cohomology of its Koszul dual algebra and hence on that of $A$ itself. Relations with some other brackets in literature are also discussed and several examples are given in detail.

研究动机与目标

• 将非交换Poisson结构的概念扩展到Koszul与N-Koszul Calabi-Yau代数的导出范畴。
• 证明导出的非交换Poisson结构在该类代数的循环同调上诱导出一个分次李代数结构。
• 建立Hochschild同调作为循环同调上的李模，且Connes长正合列是一个李模序列。
• 证明导出Poisson结构上的Leibniz-Loday括号自然映射到Koszul对偶代数的Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号。
• 提供显式例子，包括多项式代数，并阐明其与文献中其他括号的关系。

提出的方法

• 作者利用循环余代数的cobar构造，获得代数的纤维化解析，从而定义导出的非交换Poisson结构。
• 他们定义了一个从循环同调到导出表示方案同调的导出迹映射，该映射保持李结构。
• 该构造依赖于通过BV算子与体积形式，双模上的一形式与微分形式之间的同构关系。
• 证明Koszul对偶代数上的Gerstenhaber括号同构于Leibniz-Loday括号在导出迹映射下的像。
• 论文利用通过体积形式将多向量场与微分形式同构，将循环同调上的李括号表达为收缩与外微分的组合。
• 对多项式代数进行显式计算，利用体积形式与Hodge星同构将形式与多向量场关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Koszul Calabi-Yau代数上定义导出的非交换Poisson结构，其同调性质是什么？
• RQ2 导出的非交换Poisson结构是否在代数的循环同调上诱导出分次李代数结构？
• RQ3 Koszul Calabi-Yau代数的Hochschild同调是否构成其循环同调上的李模，且其与Connes长正合列的关系如何？
• RQ4 导出Poisson结构上的Leibniz-Loday括号与Koszul对偶代数的Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号之间有何关系？
• RQ5 对于多项式代数，循环同调上的李括号的显式形式是什么，其与微分形式和收缩的关系如何？

主要发现

• 在Koszul Calabi-Yau代数上的导出非交换Poisson结构，诱导出其循环同调上的分次李代数结构。
• 该代数的Hochschild同调是其循环同调上的李模，且Connes长正合列是一个李模序列。
• 导出Poisson结构上的Leibniz-Loday括号自然映射到Koszul对偶代数的Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号。
• 对于多项式代数Sym(V)，循环同调上的李括号由$\{α,\u03b2\} = (-1)^{(m-|\u03b1|-1)(m-|\u03b2|)} \iota_{\eta} d\alpha$给出，其中$\eta = \Psi^{-1}(d\beta)$。
• 循环同调上的括号不满足雅可比恒等式，因此不定义$\mathrm{HH}_\bullet(A)$上的李代数结构，仅定义李模结构。
• 在多项式代数的情形下，循环对偶余代数存在唯一的度数为$-m$的循环形式，其值由其在最高次单项式上的取值唯一确定。