[论文解读] The derived Riemann-Hilbert correspondence

Mauro Porta|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文通过将经典局部系统与平坦联络之间的等价关系推广到导出$$\mathbb{C}$-解析空间，建立了黎曼-希尔伯特对应关系的导出版本，利用光滑解析空间$X$的导出de Rham与Betti形状。关键结果是通过黎曼-希尔伯特态射$\eta_{\mathrm{RH}}$，在这些形状上的凝聚与完美复形的导出范畴之间建立等价，将经典对应关系推广至导出解析几何的设定。

ABSTRACT

In this short paper we prove a derived version of the Riemann-Hilbert correspondence of Deligne and Simpson. Our generalization is twofold: on one side we consider families of representations of the full homotopy type of a smooth analytic space $X$ in the stable $\infty$-category of complexes of coherent sheaves and of perfect complexes; on the other side, we allow the base parametrizing such families to be derived $\mathbb C$-analytic spaces.

研究动机与目标

• 将经典的黎曼-希尔伯特对应关系推广至导出$$\mathbb{C}$-解析空间，将局部系统与平坦联络之间的等价关系扩展至由导出基参数化的族。
• 在高阶叠与导出几何的语言中表述黎曼-希尔伯特对应关系，利用光滑解析空间$X$的de Rham与Betti形状。
• 证明黎曼-希尔伯特态射$\eta_{\mathrm{RH}}: X_{\mathrm{dR}} \to X_{\mathrm{B}}$在凝聚与完美复形的导出范畴上诱导出等价。
• 建立分析叠$\mathbf{AnCoh}^{-}$与$\mathbf{AnPerf}$的无穷小收敛性与笛卡尔性质，这是导出对应关系的关键。

提出的方法

• 本文采用导出$$\mathbb{C}$-解析几何的框架，将导出解析空间建模为$\mathcal{T}_{\mathrm{an}}$-结构拓扑。
• 定义Betti形状$X_{\mathrm{B}}$为与拓扑空间$X^{\mathrm{top}}$相关的常值叠，定义de Rham形状$X_{\mathrm{dR}}$为分类全纯向量丛与平坦联络的叠。
• 黎曼-希尔伯特态射$\eta_{\mathrm{RH}}$被构造为从$X_{\mathrm{dR}}$到$X_{\mathrm{B}}$的态射，以导出形式编码经典对应关系。
• 证明通过在导出Stein空间$V$的Postnikov塔上进行归纳，利用$\mathbf{AnCoh}^{-}$与$\mathbf{AnPerf}$为无穷小收敛且笛卡尔的性质。
• 关键技术工具包括使用解析平方零扩张，以及应用[11, 12]中关于分裂扩张上凝聚层的结果。
• 通过将问题局部化至$X^{\mathrm{top}}$为收缩的情形（此时$X_{\mathrm{B}} \simeq *$），验证沿$p: V \times X_{\mathrm{dR}} \to V$的拉回在凝聚与完美复形上为等价，从而建立等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的黎曼-希尔伯特对应关系能否扩展至导出$$\mathbb{C}$-解析空间上的表示族？
• RQ2 光滑解析空间$X$的Betti形状与de Rham形状之间的等价关系能否推广至导出系数（如凝聚或完美复形）？
• RQ3 黎曼-希尔伯特态射$\eta_{\mathrm{RH}}: X_{\mathrm{dR}} \to X_{\mathrm{B}}$能否在导出解析设定中诱导出层的导出范畴之间的等价？
• RQ4 分析叠$\mathbf{AnCoh}^{-}$与$\mathbf{AnPerf}$成为无穷小笛卡尔与收敛的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 黎曼-希尔伯特态射$\eta_{\mathrm{RH}}: X_{\mathrm{dR}} \to X_{\mathrm{B}}$对任意光滑解析空间$X$，在导出范畴上诱导出等价$\mathbf{AnCoh}^{-}(X_{\mathrm{B}}) \simeq \mathbf{AnCoh}^{-}(X_{\mathrm{dR}})$。
• 同一态射也诱导出等价$\mathbf{AnPerf}(X_{\mathrm{B}}) \simeq \mathbf{AnPerf}(X_{\mathrm{dR}})$，将经典对应关系推广至完美复形。
• 证明依赖于$\mathbf{AnCoh}^{-}$与$\mathbf{AnPerf}$的无穷小收敛性与笛卡尔性质，这些性质通过在解析平方零扩张上的局部分析得以确立。
• 等价性通过在导出Stein空间$V$的Postnikov塔上进行归纳来验证，归约至$X^{\mathrm{top}}$为收缩的情形，此时$X_{\mathrm{B}} \simeq *$。
• 结果适用于导出$$\mathbb{C}$-解析几何的设定，将Deligne与Simpson的表述推广至导出系数与导出基空间。
• 该等价性可提升为取值于对称单性稳定$$\infty$-范畴的叠之间的对称单性等价。