[论文解读] The Descent Set and Connectivity Set of a Permutation

Richard P. Stanley|ArXiv.org|Jul 11, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 15

一句话总结

本文引入了排列 $w$ 的连通性集合 $C(w)$，通过矩阵求逆关系与经典的下降集合 $D(w)$ 建立了对偶性。证明了 $C(w)$ 与 $D(w)$ 的联合分布由一个矩阵的 $q$-类比所控制，该矩阵的元素是 $\eta(S)$ 的有理函数，关键结果表明当 $\overline{S} \cap T = \emptyset$ 时，$A(q)_{ST} = q^{z(T)} \eta(\overline{S},q)/\eta(\overline{T},q)$，并提供了对偶关系的 $q$-类比。

ABSTRACT

The descent set D(w) of a permutation w of 1,2,...,n is a standard and well-studied statistic. We introduce a new statistic, the connectivity set C(w), and show that it is a kind of dual object to D(w). The duality is stated in terms of the inverse of a matrix that records the joint distribution of D(w) and C(w). We also give a variation involving permutations of a multiset and a q-analogue that keeps track of the number of inversions of w.

研究动机与目标

• 定义并研究连通性集合 $C(w)$，这是一个与经典下降集合 $D(w)$ 对偶的新统计量。
• 通过矩阵求逆与联合分布分析，建立 $C(w)$ 与 $D(w)$ 之间的对偶性。
• 将对偶性扩展到跟踪排列中逆序数的 $q$-类比。
• 提供具有给定 $C(w)$ 与 $D(w)$ 的排列数量及其 $q$-加权变体的显式公式。

提出的方法

• 定义连通性集合 $C(w) = \{i : a_j < a_k \text{ 对所有 } j \leq i < k\}$，捕捉排列保持‘连通’的位置。
• 引入函数 $\eta(S) = i_1! (i_2 - i_1)! \cdots (n - i_k)!$，其中 $S = \{i_1 < \cdots < i_k\} \subseteq [n-1]$，该函数编码了排列中块大小的信息。
• 定义 $A_{ST} = \#\{w : \overline{S} \subseteq C(w), T \subseteq D(w)\}$，并证明当 $\overline{S} \cap T = \emptyset$ 时 $A_{ST} = \eta(\overline{S}) / \eta(\overline{T})$，否则为 0。
• 引入 $q$-类比 $A(q)_{ST}$、$\Gamma(q)_{ST}$ 与 $B(q)_{ST}$，按 $q^{\mathrm{inv}(w)}$（即逆序数）对排列进行加权。
• 证明当 $\overline{S} \cap T = \emptyset$ 时，$A(q)_{ST} = q^{z(T)} \eta(\overline{S},q)/\eta(\overline{T},q)$，其中 $z(T)$ 是满足 $T \subseteq D(w)$ 的排列的最小逆序数。
• 建立逆矩阵关系：$A(q)^{-1}_{ST} = (-1)^{\#S + \#T} A(1/q)_{ST}$，并给出 $B(q)^{-1}$ 与 $\Gamma(q)^{-1}$ 的类似公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义连通性集合 $C(w)$，它与下降集合 $D(w)$ 的组合意义是什么？
• RQ2 是否存在 $C(w)$ 与 $D(w)$ 之间的对偶性，如果有，它如何通过矩阵关系编码？
• RQ3 对偶性能否扩展到跟踪排列中逆序数的 $q$-类比？
• RQ4 联合分布 $C(w)$ 与 $D(w)$ 的精确形式是什么，它如何通过矩阵 $A(q)_{ST}$ 编码？
• RQ5 这些 $q$-类比的联合分布矩阵的逆矩阵关系是什么？

主要发现

• 满足 $S \subseteq C(w)$ 的排列 $w \in \mathfrak{S}_n$ 的数量恰好为 $\eta(S)$，其中 $\eta(S)$ 是由 $S$ 定义的块大小阶乘的乘积。
• 满足 $T \supseteq D(w)$ 的排列 $w \in \mathfrak{S}_n$ 的数量为 $n! / \eta(S)$，表明 $C$ 与 $D$ 之间存在互为倒数的对偶性。
• 对于 $A_{ST} = \#\{w : \overline{S} \subseteq C(w), T \subseteq D(w)\}$，当 $\overline{S} \cap T = \emptyset$ 时其值为 $\eta(\overline{S}) / \eta(\overline{T})$，否则为 0。
• 当 $\overline{S} \cap T = \emptyset$ 时，$q$-类比 $A(q)_{ST}$ 等于 $q^{z(T)} \eta(\overline{S},q)/\eta(\overline{T},q)$，其中 $z(T)$ 是满足 $T \subseteq D(w)$ 的排列的最小逆序数。
• 矩阵 $A(q)$ 的逆满足 $A(q)^{-1}_{ST} = (-1)^{\#S + \#T} A(1/q)_{ST}$，建立了其逆的函数方程。
• 矩阵 $\Gamma(q)$ 的逆满足 $\Gamma(q)^{-1}_{ST} = (-1)^{\#S + \#T} \Gamma(1/q)_{ST}$，表明在 $q \to 1/q$ 下具有对称性。