[论文解读] The desingularization of the theta divisor of a cubic threefold as a moduli space

Arend Bayer, Sjoerd Viktor Beentjes+5 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文证明了三复曲面的theta除子的去奇异化与具有陈特征 $v = (3, -H, -H^2/2, H^3/6)$ 的Gieseker稳定层的模空间同构，该模空间光滑且为四维。模空间通过在唯一奇点处进行爆破来解析奇异的theta除子，其中三复曲面本身作为例外除子，从而通过导出范畴与稳定性条件，为三复曲面的范畴化与经典Torelli定理提供了新证明。

ABSTRACT

We show that the moduli space $\overline{M}_X(v)$ of Gieseker stable sheaves on a smooth cubic threefold $X$ with Chern character $v = (3,-H,-H^2/2,H^3/6)$ is smooth and of dimension four. Moreover, the Abel-Jacobi map to the intermediate Jacobian of $X$ maps it birationally onto the theta divisor $Θ$, contracting only a copy of $X \subset \overline{M}_X(v)$ to the singular point $0 \in Θ$. We use this result to give a new proof of a categorical version of the Torelli theorem for cubic threefolds, which says that $X$ can be recovered from its Kuznetsov component $\operatorname{Ku}(X) \subset \mathrm{D}^{\mathrm{b}}(X)$. Similarly, this leads to a new proof of the description of the singularity of the theta divisor, and thus of the classical Torelli theorem for cubic threefolds, i.e., that $X$ can be recovered from its intermediate Jacobian.

研究动机与目标

• 将三复曲面的去奇异化theta除子几何实现为稳定层的模空间。
• 证明具有陈特征 $v = (3, -H, -H^2/2, H^3/6)$ 的Gieseker稳定层的模空间在三复曲面上光滑且为四维。
• 证明该模空间同构于theta除子在唯一奇点处的爆破，且三复曲面为例外除子。
• 通过Kuznetsov分量与Serre不变稳定性条件，为三复曲面的范畴化Torelli定理提供新证明。
• 通过中间雅可比簇，证明模空间参数化theta除子的解析，从而恢复经典Torelli定理。

提出的方法

• 构造光滑三复曲面 $X$ 上具有指定陈特征 $v$ 的Gieseker稳定层的模空间 $\overline{M}_X(v)$。
• 利用Bridgeland在三角范畴上的稳定性条件理论，在Kuznetsov分量 $\mathrm{Ku}(X)$ 上定义Serre不变稳定性条件。
• 证明任意Serre不变稳定性条件下，点层 $\mathcal{O}_P$ 在 $\mathrm{Ku}(X)$ 中的投影 $K_P$ 是稳定的。
• 证明 $\mathrm{Ku}(X)$ 中类为 $v$ 的 $\sigma$-稳定对象的模空间 $M_\sigma(v)$ 同构于 $\overline{M}_X(v)$。
• 证明从 $\overline{M}_X(v)$ 到中间雅可比簇 $J(X)$ 的Abel-Jacobi映射是双有理的，且仅将 $X \subset \overline{M}_X(v)$ 映射到 $\Theta$ 中的奇点 $0$。
• 应用弱Mukai引理与相位比较论证，排除不稳定对象，证明特定层的 $\sigma$-稳定性，从而建立模空间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 三复曲面的theta除子的去奇异化能否实现为稳定层的模空间？
• RQ2 在三复曲面上，具有陈特征 $v = (3, -H, -H^2/2, H^3/6)$ 的Gieseker稳定层的模空间是否光滑且为四维？
• RQ3 从该模空间到中间雅可比簇的Abel-Jacobi映射是否通过仅将三复曲面作为例外除子来实现theta除子的解析？
• RQ4 能否通过Kuznetsov分量中稳定对象的模空间来证明三复曲面的范畴化Torelli定理？
• RQ5 模空间 $\overline{M}_X(v)$ 的同构类型是否唯一确定三复曲面 $X$？

主要发现

• 在光滑三复曲面 $X$ 上，具有陈特征 $v = (3, -H, -H^2/2, H^3/6)$ 的Gieseker稳定层的模空间 $\overline{M}_X(v)$ 光滑且不可约，维数为四。
• 模空间 $\overline{M}_X(v)$ 同构于theta除子 $\Theta \subset J(X)$ 在其唯一奇点 $0$ 处的爆破。
• 该爆破的例外除子同构于三复曲面 $X$ 本身，且参数化 $\overline{M}_X(v)$ 中非局部自由层。
• Abel-Jacobi映射 $\overline{M}_X(v) \to J(X)$ 是双有理的，且仅将 $X \subset \overline{M}_X(v)$ 映射到 $0 \in \Theta$。
• 对于任意Serre不变稳定性条件 $\sigma$，Kuznetsov分量 $\mathrm{Ku}(X)$ 中类为 $v$ 的 $\sigma$-稳定对象的模空间 $M_\sigma(v)$ 同构于 $\overline{M}_X(v)$。
• 模空间 $\overline{M}_X(v)$ 的同构类型唯一确定三复曲面 $X$，从而为范畴化与经典Torelli定理提供了新证明。