[论文解读] The determinant bound for discrepancy is almost tight

Jiřı́ Matoušek|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文证明了遗传不和谐性的行列式下界几乎紧致，即在多项式有界的集合系统下，遗传不和谐性与行列式下界之间的差距至多为 $ O((\text{poly}(n))^{3/2} \text{polylog}(n)) $。该结果依赖于 Bansal 提出的半定规划算法，并解决了关于行列式下界紧致性的长期悬而未决问题，表明即使在 Hoffman 和 Pálvölgyi 构造的最坏情况示例中，该下界也不会超过此近乎最优的因子。

ABSTRACT

In 1986 Lovasz, Spencer, and Vesztergombi proved a lower bound for the hereditary a discrepancy of a set system F in terms of determinants of square submatrices of the incidence matrix of F. As shown by an example of Hoffman, this bound can differ from herdisc(F) by a multiplicative factor of order almost log n, where n is the size of the ground set of F. We prove that it never differs by more than O((log n)3/2), assuming |F| bounded by a polynomial in n. We also prove that if such an F is the union of t systems F_1, . . ., F_t, each of hereditary discrepancy at most D, then herdisc(F) \leq O(t^(1/2)(log n)^(3/2) D). For t = 2, this almost answers a question of Sos. The proof is based on a recent algorithmic result of Bansal, which computes low-discrepancy colorings using semidefinite programming.

研究动机与目标

• 为填补已知在最坏情况示例中行列式下界与真实遗传不和谐性之间最多相差 $ \frac{\text{polylog}(n)}{\text{polyloglog}(n)} $ 的差距，解决该问题。
• 解决行列式下界是否近乎最优的问题，特别是在 Hoffman 和 Pálvölgyi 提供的反例表明其可能相差 $ \text{polylog}(n) $ 的背景下。
• 建立集合系统并集的遗传不和谐性相对于其各组成部分最大遗传不和谐性的超出量的定量界。
• 回答 Sós 提出的问题：能否以 $ n $ 和 $ m $ 等参数表示两个集合系统并集的遗传不和谐性，而非独立于其个体差异。

提出的方法

• 该证明利用了 Bansal 最近的算法结果，即通过半定规划（SDP）计算低不和谐性着色，从而提供了一种构造性方法来界定不和谐性。
• 作者分析了关联矩阵的结构，并通过最大 $ k \times k $ 子矩阵行列式应用行列式下界，将 $ \text{detlb}(\fF) $ 定义为关键量。
• 通过将 $ \text{herdisc}(\fF) $ 与 $ \text{detlb}(\fF) $ 关联，推导出界，表明该比值至多为 $ O(\text{polylog}(n) \times \text{poly}(m) \times \text{poly}(n)^{1/2}) $，在 $ |\fF| $ 多项式有界下成立。
• 对于 $ t $ 个集合系统的并集，每个系统的遗传不和谐性至多为 $ D $，该方法证明了 $ \text{herdisc}(\fF) \neq O(\text{polylog}(n) \times \text{poly}(m) \times \text{poly}(t)^{1/2} \times D) $，使用了迭代分解和行列式界。
• 该论证涉及基于 Pálvölgyi 的几何示例构造出具有受控不和谐性和行列式界的一类集合系统，但将其适配为组合集合系统。
• 对 SDP 的对偶化以及对子矩阵行列式的细致分析，使作者得以在最坏情况配置下推导出不和谐性比值的紧致上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在集合系统大小的合理假设下，遗传不和谐性的行列式下界是否可能比 $ n $ 的多对数因子更大？
• RQ2 行列式下界是否近乎紧致，还是存在某些 $ \fF $ 使得 $ \text{herdisc}(\fF) $ 与 $ \text{detlb}(\fF) $ 之间存在超多对数差距？
• RQ3 对于 $ t $ 个遗传不和谐性为 $ D $ 的集合系统并集，$ \text{herdisc}(\fF) $ 是否能以 $ D $、$ t $、$ n $ 和 $ m $ 的函数形式有界，而非独立于 $ t $ 增长？
• RQ4 Hoffman 的例子显示存在 $ \frac{\text{polylog}(n)}{\text{polyloglog}(n)} $ 的差距，这是否代表最坏情况，还是在 $ |\fF| $ 多项式有界下差距可能更大？
• RQ5 行列式下界能否用于推导集合系统并集不和谐性的紧致界，特别是对于 $ t=2 $ 的情况，如 Sós 所问？

主要发现

• 任何在 $ n $ 个元素上具有 $ m $ 个集合的集合系统 $ \fF $，其遗传不和谐性满足 $ \text{herdisc}(\fF) \neq O\bigl( \text{detlb}(\fF) \times \text{polylog}(n) \times \text{poly}(m)^{1/2} \bigr) $，表明行列式下界几乎紧致。
• 对于集合系统 $ \fF $，若其为 $ t $ 个系统 $ \fF_1, \fF_2, \ldots, \fF_t $ 的并集，且每个系统的遗传不和谐性至多为 $ D $，则 $ \fF $ 的遗传不和谐性被有界为 $ O\bigl( \text{polylog}(n) \times \text{poly}(m)^{1/2} \times \text{poly}(t)^{1/2} \times D \bigr) $。
• 该论文表明，在 $ |\fF| $ 关于 $ n $ 多项式有界的假设下，$ \text{herdisc}(\fF) $ 与 $ \text{detlb}(\fF) $ 之间的最坏情况差距至多为 $ O((\text{poly}(n))^{3/2} \text{polylog}(n)) $。
• 该结果几乎解决了 Sós 关于两个集合系统并集不和谐性边界的提问，表明不和谐性最多随 $ n $ 和 $ m $ 的多对数因子增长，不会超过已知极值示例。
• 该研究表明，Pálvölgyi 的构造可产生 $ \text{herdisc}(\fF)/\text{detlb}(\fF) $ 比值为 $ \tilde{\theta}(\text{polylog}(n)) $，确认其为近乎最坏情况的示例。
• 基于 Bansal 的基于 SDP 的着色算法的证明技术，使作者能够对基于行列式的不和谐性界进行紧致分析，展示了算法不和谐性方法在理论分析中的强大能力。