[论文解读] The deterministic limit of the Moran model: a uniform central limit theorem

Fernando Cordero|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文建立了带有突变和选择的大种群Moran模型中适应型个体比例的统一中心极限定理，表明在极限下其趋于确定性常微分方程（ODE），波动趋于高斯过程。关键结果是有限种群过程的平稳分布收敛于稳定平衡点处的Dirac delta函数，且给出了极限正态分布的显式方差。

ABSTRACT

We consider a Moran model with two allelic types, mutation and selection. In this work, we study the behaviour of the proportion of fit individuals when the size of the population tends to infinity, without any rescaling of parameters or time. We first prove that the latter converges, uniformly in compacts in probability, to the solution of an ordinary differential equation, which is explicitly solved. Next, we study the stability properties of its equilibrium points. Moreover, we show that the fluctuations of the proportion of fit individuals, after a proper normalization, satisfy a uniform central limit theorem in $[0,\infty)$. As a consequence, we deduce the convergence of the corresponding stationary distributions.

研究动机与目标

• 分析具有两种等位基因类型、突变和选择的Moran模型在不进行时间或参数重标度情况下的大种群极限。
• 建立适应型个体比例的统一大数定律，表明其收敛于一个确定性常微分方程。
• 推导围绕确定性极限的波动的统一中心极限定理。
• 证明有限种群过程的平稳分布收敛于常微分方程稳定平衡点处的Dirac质量。
• 更正并严格重新推导平稳情况下极限高斯分布的方差，纠正文献中先前的错误。

提出的方法

• 应用密度依赖的马尔可夫链理论，分析当种群规模 $ N \to \infty $ 时Moran过程的极限。
• 证明在紧集上一致的大数定律，表明适应型个体比例以概率收敛于一个非线性常微分方程的解。
• 利用Dambis-Dubins-Schwarz定理，将极限波动过程表征为时间变换的布朗运动。
• 显式求解控制波动过程的随机微分方程（SDE），并推导极限正态分布的特征函数与方差。
• 建立有限-$ N $过程的平稳分布收敛于常微分方程唯一稳定平衡点处的Dirac delta函数。
• 通过提供详细证明，更正了文献中关于平稳情况下极限高斯分布方差的先前错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 当种群规模趋于无穷大时，不进行参数或时间重标度，Moran模型中适应型个体比例的确定性极限是什么？
• RQ2 在大种群条件下，适应型个体比例围绕确定性极限的波动行为如何？
• RQ3 有限种群Moran过程的平稳分布的极限分布是什么？
• RQ4 极限波动过程是否为高斯分布，能否将其显式表征为时间变换的布朗运动？
• RQ5 有限-$ N $过程的平稳分布是否弱收敛于确定性常微分方程稳定平衡点处的Dirac质量？

主要发现

• 适应型个体比例以概率在紧集上一致收敛于一个确定性常微分方程的解，该方程可显式求解。
• 常微分方程的平衡点经分析具有稳定性，唯一稳定平衡点位于 $ x_0^+ = \frac{\sigma + \nu_1 \sqrt{\Delta}}{2\sigma} $，其中 $ \Delta = \sigma^2 + 4\sigma\nu_0\nu_1 $。
• 围绕确定性极限的波动在 $[0, \infty)$ 上满足统一中心极限定理，极限过程为时间变换的布朗运动。
• 平稳分布极限正态分布的方差为 $ \frac{g(x_0^+)}{2\sqrt{\Delta}} $，其中 $ g(x) = \sigma x(1-x) + \theta \nu_0 (1-x) - \theta \nu_1 x $。
• 平稳分布 $ \pi_{Z^N} $ 弱收敛于 $ x_0^+ $ 处的Dirac delta函数，意味着 $ \sqrt{N}(Z^N_\infty - x_0^+) $ 依分布收敛于均值为零、方差为 $ \frac{g(x_0^+)}{2\sqrt{\Delta}} $ 的正态分布。
• 本文更正了文献中关于平稳情况下极限高斯分布方差的先前错误，并提供了严格的推导。