[论文解读] The Devil's Staircase in the Frequency and Amplitude Locking of Nonlinear Oscillators with Continuous Periodic Forcing

Benjamin Lingnau, Kevin Shortiss+3 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用 1

一句话总结

该论文表明，近霍普夫分岔处的非线性振子在谐波调制的连续强迫作用下会呈现出魔鬼阶梯结构，复现了离散圆映射中常见的复杂锁相现象。该机制可实现多个稳定的频率锁相态，已在具有调制光注入的半导体激光器中实验验证。

ABSTRACT

The discrete circle map is the archetypical example of a driven periodic system, showing a complex resonance structure under a change of the forcing frequency known as the devil's staircase. Adler's equation can be seen as the direct continuous equivalent of the circle map, describing locking effects in periodic systems with continuous forcing. This type of locking produces a single fundamental resonance tongue without higher order resonances, and a devil's staircase is not observed. We show that, with harmonically modulated forcing, nonlinear oscillations close to a Hopf bifurcation generically reproduce the devil's staircase even in the continuous case. Experimental results on a semiconductor laser driven by a modulated optical signal show excellent agreement with our theoretical predictions. The locking appears as a modulation of the oscillation amplitude as well as the angular oscillation frequency. Our results show that by proper implementation of an external drive, additional regions of stable frequency locking can be introduced in systems which originally show only a single Adler-type resonance tongue.

研究动机与目标

• 研究在周期性强迫下，典型于离散圆映射的魔鬼阶梯现象是否能在连续时间非线性振子中出现。
• 确定强迫信号的谐波调制是否能在原本仅表现出单一阿德勒型锁相舌的系统中，产生高阶共振和复杂锁相结构。
• 建立一个理论框架，将连续强迫与类似魔鬼阶梯的分形锁相结构的出现联系起来。
• 利用受调制光信号驱动的半导体激光器进行实验，验证理论预测。

提出的方法

• 对近霍普夫分岔的非线性振子模型在连续周期性强迫与谐波调制下的理论分析。
• 推导并分析一种改进的阿德勒型方程，引入幅度调制的强迫以模拟锁相动力学。
• 使用数值模拟探索参数空间中频率和幅度的锁相行为。
• 通过相位锁定态近似，将圆映射形式化应用于连续系统。
• 通过使用具有正弦调制光注入信号的半导体激光器实现实验，探测锁相区域。
• 将实验测得的锁相区域与理论预测进行比较，以确认魔鬼阶梯的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在周期性强迫下，是否可在连续非线性振子中观察到典型于离散圆映射的魔鬼阶梯结构？
• RQ2 强迫信号的谐波调制是否会在原本仅显示单一共振舌的系统中引入高阶共振和分形锁相结构？
• RQ3 在存在此类复杂锁相结构时，振荡的幅度和角频率行为如何？
• RQ4 基于改进阿德勒方程的理论模型在多大程度上能准确预测真实系统中的观测锁相行为？
• RQ5 在适当强迫条件下，实验系统（如半导体激光器）是否能再现预测的魔鬼阶梯结构？

主要发现

• 谐波调制的连续强迫在近霍普夫分岔的非线性振子中诱导出魔鬼阶梯结构，表现出与离散圆映射中类似的复杂共振结构。
• 该系统表现出多个稳定的频率锁相态，且振幅和角频率均受强迫调制，证实了高阶共振的存在。
• 基于改进阿德勒方程的理论预测能准确描述参数空间中观测到的锁相区域。
• 在调制光注入下的半导体激光器实验结果与理论模型和数值模拟结果高度一致。
• 魔鬼阶梯的出现使得原本仅显示单一阿德勒型共振舌的系统中引入了额外的稳定锁相区域。