[论文解读] The dichotomy of list homomorphisms for digraphs

Pavol Hell, Arash Rafiey|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 36被引用 30

一句话总结

本文通过引入有向图极小三元组（DAT）的概念，为有向图中的列表同态问题建立了二分法。证明了若一个有向图 H 包含 DAT，则该问题为 NP-完全；否则，可通过宽度为 (2, 3) 的局部一致性算法在多项式时间内求解，从而提供了早期分类中缺失的结构特征刻画。

ABSTRACT

The Dichotomy Conjecture for Constraint Satisfaction Problems has been verified for conservative problems (or, equivalently, for list homomorphism problems) by Andrei Bulatov. An earlier case of this dichotomy, for list homomorphisms to undirected graphs, came with an elegant structural distinction between the tractable and intractable cases. Such structural characterization is absent in Bulatov's classification, and Bulatov asked whether one can be found. We provide an answer in the case of digraphs. In the process we give forbidden structure characterizations of the existence of certain polymorphisms relevant in Bulatov's dichotomy classification.The key concept we introduce is that of a digraph asteroidal triple (DAT). The dichotomy then takes the following form. If a digraph H has a DAT, then the list homomorphism problem for H is NP-complete; and a DAT-free digraph H has a polynomial time solvable list homomorphism problem. DAT-free digraphs can be recognized in polynomial time. It follows from our results that the list homomorphism problem for a DAT-free digraph H can be solved by a local consistency algorithm (of width (2, 3)).

研究动机与目标

• 为解决安德烈·布卢托夫关于有向图中可解列表同态问题的结构特征刻画的开放问题。
• 识别出精确的条件，以区分有向图中列表同态问题的 NP-完全与多项式时间可解情形。
• 为布卢托夫二分法分类中的关键多尔芬姆（polymorphism）提供禁止结构特征刻画。
• 建立一个多项式时间可识别的有向图类（无 DAT 有向图），其列表同态问题具有可解性。
• 证明宽度为 (2, 3) 的局部一致性算法足以在无 DAT 有向图上求解该问题。

提出的方法

• 引入有向图极小三元组（DAT）的概念，即一种导致列表同态问题 NP-完全性的禁止结构。
• 证明若一个有向图 H 中存在 DAT，则其列表同态问题为 NP-完全。
• 证明若 H 中不存在 DAT，则该问题可在多项式时间内求解。
• 建立无 DAT 有向图可通过结构图算法在多项式时间内识别。
• 证明无 DAT 有向图上的列表同态问题可通过宽度为 (2, 3) 的局部一致性算法求解。
• 利用禁止结构特征刻画，将特定多尔芬姆的存在性与问题的可解性或不可解性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向图 H 的何种结构特性决定了其列表同态问题是否可解或为 NP-完全？
• RQ2 能否为有向图列表同态二分法分类中相关的多尔芬姆建立禁止结构特征刻画？
• RQ3 是否存在一个多项式时间可识别的有向图类，其列表同态问题可通过局部一致性算法求解？
• RQ4 若 H 中不存在有向图极小三元组（DAT），是否意味着其列表同态问题具有可解性？
• RQ5 宽度有界的局部一致性算法是否足以在所有无 DAT 有向图上求解列表同态问题？

主要发现

• 当且仅当有向图 H 包含有向图极小三元组（DAT）时，其列表同态问题为 NP-完全。
• 若一个有向图 H 为无 DAT 图，则其列表同态问题可在多项式时间内求解。
• 无 DAT 有向图类可在多项式时间内识别。
• 对于无 DAT 有向图 H，其列表同态问题可通过宽度为 (2, 3) 的局部一致性算法求解。
• H 中存在特定多尔芬姆的条件可由 DAT 的缺失来刻画，从而将结构特性与计算复杂性联系起来。
• 本文为有向图中的列表同态问题提供了完整的结构二分法，解决了该领域的一个开放问题。