[论文解读] The Dieudonné modules and Ekedahl-Oort types of Jacobians of hyperelliptic curves in odd characteristic

Sanath K. Devalapurkar, John Halliday|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过显式确定在奇特征有限域上，双曲曲线的 de Rham 上同调上的 Frobenius 与 Verschiebung 作用，计算了雅可比簇的 Dieudonné 模块和 Ekedahl-Oort 类型。利用 Magma 计算，它解决了开放问题，证实了对应于 [1,1,2,3] 和 [1,2,2,3,4] 的规范类型的秩为 $p^8$ 和 $p^{10}$ 的特定群概形，分别作为 genus 4 和 5 的双曲曲线的 $J[p]$ 在小素数下出现。

ABSTRACT

Given a principally polarized abelian variety $A$ of dimension $g$ over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p$, the $p$ torsion $A[p]$ is a finite flat $p$-torsion group scheme of rank $p^{2g}$. There are exactly $2^g$ possible group schemes that can occur as some such $A[p]$. In this paper, we study which group schemes can occur as $J[p]$, where $J$ is the Jacobian of a hyperelliptic curve defined over $\mathbb{F}_p$. We do this by computing explicit formulae for the action of Frobenius and its dual on the de Rham cohomology of a hyperelliptic curve with respect to a given basis. A theorem of Oda's in [Oda69] allows us to relate these actions to the $p$-torsion structure of the Jacobian. Using these formulae and the computer algebra system Magma, we affirmatively resolve questions of Glass and Pries in [Cor05] on whether certain group schemes of rank $p^8$ and $p^{10}$ can occur as $J[p]$ of a hyperelliptic curve of genus $4$ and $5$ respectively.

研究动机与目标

• 确定在奇特征下，双曲曲线的雅可比簇 $J[p]$ 可能出现的 $p$-挠群概形。
• 通过解决 Glass 和 Pries 提出的关于是否存在双曲曲线实现特定秩为 $p^8$ 和 $p^{10}$ 的群概形作为 genus 4 和 5 的 $J[p]$ 的开放问题。
• 通过计算 Frobenius 与 Verschiebung 在双曲曲线 de Rham 上同调上的作用，确定雅可比簇的 Dieudonné 模块。
• 通过从 Frobenius 与 Verschiebung 作用矩阵导出的规范类型，表征雅可比簇的 Ekedahl-Oort 类型。
• 通过计算代数方法，提供在小素数下实现指定群概形的显式双曲曲线例子。

提出的方法

• 利用 Oda 定理，将雅可比簇的 Dieudonné 模块与带有 Frobenius 和 Verschiebung 作用的 de Rham 上同调联系起来。
• 在双曲曲线 de Rham 上同调的一组基上显式计算 Frobenius 与 Verschiebung 的矩阵。
• 应用 Cartier-Dieudonné 环结构，将 Dieudonné 模块建模为 $k[F,V]/(FV=VF=0, Fx=x^pF, Vx^p = xV)$ 上的模。
• 利用从作用矩阵导出的规范类型，确定雅可比簇的 Ekedahl-Oort 类型。
• 在 Magma 计算代数系统中实现计算，系统性地测试给定次数和素数的所有光滑双曲曲线。
• 通过将规范类型与已知的 $p$-挠群概形分类匹配，验证所得群概形结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_p$ 上，对应于规范类型 $[1,1,2,3]$ 的秩为 $p^8$ 的群概形能否作为 genus 4 的双曲曲线的 $J[p]$ 出现？
• RQ2 在 $\mathbb{F}_p$ 上，对应于规范类型 $[1,2,2,3,4]$ 的秩为 $p^{10}$ 的群概形能否作为 genus 5 的双曲曲线的 $J[p]$ 出现？
• RQ3 在奇特征下，双曲曲线的雅可比簇会产生哪些 Ekedahl-Oort 类型？它们在小素数和不同亏格下的分布如何？
• RQ4 在哪些素数 $p$ 和亏格 $g$ 下，$p$-秩为零？此时 $a$-数的结构是什么？
• RQ5 是否存在显式双曲曲线，使得 $J[p]$ 实现为 $G \oplus (\mathbb{Z}/p \oplus \mu_p)$ 和 $G \oplus (\mathbb{Z}/p \oplus \mu_p)^2$ 的群概形，分别对应 $g=4$ 和 $g=5$？

主要发现

• 对于 genus 4 和 $p=3$，曲线 $y^2 = 2x^9 + x^8 + x$ 实现了规范类型 $[1,1,2,3]$，证实了秩为 $p^8$ 的群概形作为 $J[p]$ 的存在性。
• 对于 genus 4 和 $p=5$，曲线 $y^2 = x^9 + x^8 + x$ 同样实现了规范类型 $[1,1,2,3]$，证实了在 $\mathbb{F}_5$ 上秩为 $p^8$ 的群概形的存在性。
• 对于 genus 5 和 $p=3$，曲线 $y^2 = 2x^{11} + x^9 + x^7 + x$ 实现了规范类型 $[1,2,2,3,4]$，证实了秩为 $p^{10}$ 的群概形作为 $J[p]$ 的存在性。
• 对于 genus 5 和 $p=5$，曲线 $y^2 = 3x^{11} + 2x^{10} + 4x^9 + 2x^8 + x^7 + x$ 实现了规范类型 $[1,2,2,3,4]$，证实了在 $\mathbb{F}_5$ 上秩为 $p^{10}$ 的群概形的存在性。
• 该算法通过 Frobenius 与 Verschiebung 在 de Rham 上同调上的作用计算规范类型，从而实现对双曲雅可比簇 Ekedahl-Oort 类型的分类。
• 在更高亏格和素数下，双曲曲线的最终类型分布尚不完整，例如在 genus 9 和 $p=3$ 时，仅实现了 11 种中的 16 种可能类型。