[论文解读] The diffeomorphism type of symplectic fillings

Kilian Barth, Hansjörg Geiges+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 7

一句话总结

该论文通过在模空间中对全纯球面的次数理论分析，证明了基本群为单连通的、次临界 Stein 可填充的接触流形，其辛非退化填充在微分同胚意义下唯一。该关键结果在同调与 Whitehead 群条件满足时，可推广至具有有限或阿贝尔基本群的流形，证明在拓扑约束下，柔性 Stein 填充在微分同胚与辛同胚意义下唯一。

ABSTRACT

We show that simply connected contact manifolds that are subcritically Stein fillable have a unique symplectically aspherical filling up to diffeomorphism. Various extensions to manifolds with non-trivial fundamental group are discussed. The proof rests on homological restrictions on symplectic fillings derived from a degree-theoretic analysis of the evaluation map on a suitable moduli space of holomorphic spheres. Applications of this homological result include a proof that compositions of right-handed Dehn twists on Liouville domains are of infinite order in the symplectomorphism group. We also derive uniqueness results for subcritical Stein fillings up to homotopy equivalence and, under some topological assumptions on the contact manifold, up to diffeomorphism or symplectomorphism.

研究动机与目标

• 对次临界 Stein 可填充接触流形的辛非退化填充的微分同胚类型进行分类。
• 将唯一性结果从单连通情形推广至具有有限或阿贝尔基本群的流形。
• 建立柔性 Stein 填充在何种条件下为形变等价，从而导出辛同胚唯一性。
• 将全纯曲线模空间中的同调消去结果应用于约束填充的拓扑结构。
• 证明在 Liouville 流形上，右旋 Dehn 扭转的复合在辛同胚群中阶为无限。

提出的方法

• 分析在辛填充的部分紧化中，全纯球面模空间上的评估映射。
• 应用次数理论技术，推导填充的上同调与同伦群的同调约束。
• 利用次临界 Stein 结构，确保存在仅含低指标胞腔的强拟凸函数。
• 应用 Stein h- cobordism 定理，在填充之间的 cobordism 上构造形变等价的 Stein 结构。
• 利用 Whitehead 群的平凡性与覆盖上的同调条件，确保 s-cobordism 等价性。
• 通过将接触边界包含进填充的映射，将分类问题约化为同伦与同调等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑条件下，一个辛非退化填充的微分同胚类型可由单一的次临界 Stein 填充唯一确定？
• RQ2 唯一性结果能否从单连通流形推广至基本群非平凡但为阿贝尔群的流形？
• RQ3 在何种条件下，接触流形的所有柔性 Stein 填充均为形变等价？
• RQ4 全纯球面的模空间如何约束辛填充的同调与基本群？
• RQ5 在 Liouville 流形上，右旋 Dehn 扭转的复合在紧支集辛同胚群中是否阶为无限？

主要发现

• 对于基本群为单连通、维度为 $2n-1$ 且 $n \neq 2$ 的次临界 Stein 可填充接触流形，所有辛非退化填充彼此微分同胚。
• 若基本群为阿贝尔群且 Whitehead 群为零，则接触边界到填充的包含映射是 $\rho_1$-单射，并在同调上度数至 $\rho_0 \times \text{dim}(W_0)$ 范围内诱导同构。
• 在维度至少为四的 Liouville 流形上，右旋 Dehn 扭转的复合在紧支集辛同胚群中永远不与恒等映射同伦。
• 所有满足 $\operatorname{Wh}(\pi_1(M)) = 0$ 且覆盖上具有同调条件的接触流形的柔性 Stein 填充均为 Stein 形变等价。
• 在相同条件下，所有此类填充不仅微分同胚，而且通过 Stein h-cobordism 定理，也辛同胚。
• 证明依赖于在填充之间的 s-cobordism 上构造 Stein 结构，利用次临界胞腔分解，并确保 Stein 结构中无临界胞腔。