[论文解读] The differential topology of loop spaces

Andrew Stacey|ArXiv.org|Oct 5, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文建立了有限维流形上光滑环路空间的微分拓扑，通过拓扑向量空间中的无穷维微积分，在环路空间上构造了光滑流形结构。证明了切丛、向量丛及联络的环路空间继承了光滑结构，并引入了管状邻域和极化等关键工具，应用于半无穷几何与环路群表示。

ABSTRACT

This is an introduction to the subject of the differential topology of the space of smooth loops in a finite dimensional manifold. It began as the background notes to a series of seminars given at NTNU and subsequently at Sheffield. I am posting them in the hope that they will be useful to people wishing to know a little about the basics of the subject. I have tried to make them readable by anyone with a good grounding in finite dimensional differential topology. Any comments and suggestions for improvement will be very welcome. The topics covered are: the smooth structure of the space of smooth loops; constructions involving vector bundles; submanifolds and tubular neighbourhoods; and a short introduction to the geometry and semi-infinite structure of loop spaces.

研究动机与目标

• 为光滑环路空间的微分拓扑提供一个自包含且易于理解的导论，弥合标准有限维微分拓扑与无穷维分析技术深度之间的空白。
• 证明有限维流形上光滑环路的空间在不基于巴拿赫空间框架的情况下，仍可赋予明确定义的光滑流形结构。
• 将有限维流形中的构造（如向量丛、联络和主丛）推广至环路空间设定，展示其如何一致地“环路化”。
• 研究环路空间的子流形，特别是基于环路和圆作用下的不动点子流形，并证明这些子流形存在管状邻域。
• 引入环路空间的半无穷几何，包括极化与半无穷外幂，将其与环路群表示及指标理论联系起来。

提出的方法

• 利用基于[KM97]的任意拓扑向量空间上流形的理论，定义光滑环路空间上的光滑结构，避免依赖巴拿赫空间框架。
• 通过基于指数映射与喷层空间的局部坐标图，显式构造环路空间的图册，利用弗雷歇空间中的微积分证明过渡函数是光滑的。
• 证明环路空间的切丛 $ TLM $ 与切丛的环路空间 $ L(TM) $ 之间存在自然微分同胚，从而在 $ TLM $ 上确立自然的光滑结构。
• 将环路构造应用于向量丛、标架丛与联络，证明这些对象可一致地提升至环路空间层面。
• 分析由逐点约束定义的子流形（如固定基点的环路），并证明其存在管状邻域，从而表明基本纤维丛 $ \nabla M \to LM \to M $ 局部平凡。
• 通过将环路空间分解为正负频率分量，引入极化概念，表明虽然 $ L_+E $ 与 $ L_-E $ 本身未明确定义，但其半无穷外幂是良定义的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖巴拿赫空间框架的前提下，有限维流形上光滑环路的空间能否被赋予一致的光滑流形结构？
• RQ2 标准几何对象（如向量丛、联络、主丛）在环路构造下如何表现？
• RQ3 在何种条件下，环路空间的子流形（如基于环路或圆作用下的不动点集）会存在管状邻域？
• RQ4 极化在环路空间的半无穷几何中起何作用？其与环路群表示有何关联？
• RQ5 余切丛的环路空间能否与环路空间的余切丛相等同？若不能，环路操作在此处为何失效？

主要发现

• 有限维流形 $ M $ 上的光滑环路空间 $ LM $ 可赋予明确定义的光滑流形结构，其模型空间为 $ \mathbb{R}^n $ 上光滑环路的弗雷歇空间，且过渡函数光滑。
• 切丛的环路空间 $ L(TM) $ 与环路空间的切丛 $ T(LM) $ 之间存在自然微分同胚，且保持光滑结构。
• 在 $ M $ 上的向量丛、标架丛与联络可诱导出 $ LM $ 上相应的对象，且联络的环路可唯一提升为环路丛上的联络。
• 余切丛的环路空间 $ L(T^*M) $ 不与环路空间的余切丛 $ T^*(LM) $ 微分同胚，表明环路构造在余切丛上失效。
• 基于环路空间 $ \Omega M $ 与圆作用下的不动点子流形等子流形存在管状邻域，从而表明基本纤维丛 $ \Omega M \to LM \to M $ 局部平凡。
• 半无穷外幂 $ \Lambda^{\bullet + \infty/2}(LE)^* \cong \Lambda^\bullet(L_+E)^* \widetilde{\otimes} \Lambda^\bullet L_-E $ 良定义且在极化变换下不变，为环路空间上的半无穷上同调与指标理论提供了基础。