[论文解读] The dimension of a subcategory of modules

Hailong Dao, Ryo Takahashi|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文引入了交换诺特局部环上有限生成模子范畴的一个新维数量概念，将 Rouquier 的三角范畴维数推广至可解子范畴与厚子范畴。该文证明：最大 Cohen-Macaulay 模在去点谱上局部自由的子范畴的有限维数等价于孤立奇点，从而恢复并改进了 Auslander、Huneke、Leuschke 与 Wiegand 的经典结果，同时也推广了近期关于 Gorenstein 环上稳定范畴的研究成果。

ABSTRACT

Let R be a commutative noetherian local ring. As an analogue of the notion of the dimension of a triangulated category defined by Rouquier, the notion of the dimension of a subcategory of finitely generated R-modules is introduced in this paper. We found evidence that certain categories over nice singularities have small dimensions. When R is Cohen-Macaulay, under a mild assumption it is proved that finiteness of the dimension of the full subcategory consisting of maximal Cohen-Macaulay modules which are locally free on the punctured spectrum is equivalent to saying that R is an isolated singularity. As an application, the celebrated theorem of Auslander, Huneke, Leuschke and Wiegand is not only recovered but also improved. The dimensions of stable categories of maximal Cohen-Macaulay modules as triangulated categories are also investigated in the case where R is Gorenstein, and special cases of the recent results of Aihara and Takahashi, and Oppermann and Stovicek are recovered and improved. Our key technique involves a careful study of annihilators and supports of Tor, Ext and \underline{Hom} between two subcategories.

研究动机与目标

• 为交换诺特局部环上有限生成模的可解子范畴与厚子范畴定义并研究一种新的维数量概念。
• 通过最大 Cohen-Macaulay 模在去点谱上局部自由的子范畴的维数有限性，刻画 Cohen-Macaulay 局部环具有孤立奇点的条件。
• 扩展并细化关于最大 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴的已有结果，尤其在 Gorenstein 情况下。
• 研究此类子范畴具有无限维数的条件，提供判断非有限维数性的新充分条件。

提出的方法

• 通过构建单个对象所需的第 syzygy 与扩张步数，引入有限生成模子范畴的新维数量概念。
• 将 Tor、Ext 与稳定 Hom 函子在子范畴之间的零化子作为关键不变量，用于分析维数的有限性。
• 运用同调代数技术，包括最大 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴及其厚子范畴的分析。
• 利用在超曲面情形下，有界导出范畴模掉完美复形与最大 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴之间的等价性。
• 应用局部上同调与支撑理论的结果，将零化子条件与奇点类型相关联。
• 利用可解子范畴与厚子范畴的概念，分析奇异环上模范畴的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，最大 Cohen-Macaulay 模在去点谱上局部自由的子范畴的维数是有限的？
• RQ2 此类模之间 Tor 与 Ext 函子的零化子如何与环的奇点类型相关？
• RQ3 在何种条件下，Gorenstein 环上最大 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴具有有限维数？
• RQ4 在什么条件下，模的可解子范畴或厚子范畴的维数必然为无限？
• RQ5 新维数量概念如何恢复或改进关于孤立奇点与 CM 模的已知结果？

主要发现

• 在弱假设下，最大 Cohen-Macaulay 模在去点谱上局部自由的子范畴 $\operatorname{\mathsf{CM}}_0(R)$ 的维数有限，当且仅当 $\operatorname{\mathsf{Ext}}^i(M,N)$ 的零化子是 $\mathfrak{m}$-主理想。
• 若 $\operatorname{\mathsf{Tor}}_i(M,N)$ 的零化子是 $\mathfrak{m}$-主理想，则 $R$ 至多具有孤立奇点。
• 若 $R$ 是完备的、同特征的，且剩余域为完美，则 $R$ 具有孤立奇点当且仅当 $\operatorname{\mathsf{dim}}\,\operatorname{\mathsf{CM}}_0(R)$ 有限。
• 对于 Gorenstein 环，稳定范畴 $\underline{\mathsf{CM}}_0(R)$ 的维数有限，当且仅当 $R$-线性范畴 $\underline{\mathsf{CM}}_0(R)$ 的零化子是 $\mathfrak{m}$-主理想。
• 在相同条件下，$\underline{\mathsf{CM}}_0(R)$ 的维数有限当且仅当 $R$ 至多具有孤立奇点。
• 建立了若干充分条件，使得可解子范畴或厚子范畴具有无限维数，包括 $R$ 局部为超曲面、具有最小多重性，或具有有限 CM 表示型的情形。