[论文解读] The Dirac operator on hypersurfaces

Andrzej Trautman|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 1998

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文针对具有 pin 结构的非可定向黎曼流形（特别是欧氏空间中的超曲面），利用 pin 群的扭曲伴随表示，提出了一种修正的狄拉克算子。推导了该算子的薛定谔变换，并将其应用于球面和实射影空间上狄拉克算子的精确谱和本征函数计算，揭示了奇数维射影空间上谱的非对称性。

ABSTRACT

Odd-dimensional Riemannian spaces that are non-orientable, but have a pin structure, require the consideration of the twisted adjoint representation of the corresponding pin group. It is shown here how the Dirac operator should be modified, also on even-dimensional spaces, to make it equivariant with respect to the action of that group when the twisted adjoint representation is used in the definition of the pin structure. An explicit description of a pin structure on a hypersurface, defined by its immersion in a Euclidean space, is used to derive a "Schroedinger" transform of the Dirac operator in that case. This is then applied to obtain - in a simple manner - the spectrum and eigenfunctions of the Dirac operator on spheres and real projective spaces.

研究动机与目标

• 通过为 pin 群的扭曲伴随表示下的作用定义一个在群作用下保持等变的修正狄拉克算子，将狄拉克算子理论扩展到非可定向流形。
• 通过在欧氏空间中浸入构造超曲面上的规范 pin 结构，证明相关的旋量丛是平凡的。
• 为这类超曲面上的修正狄拉克算子推导一个薛定谔变换，以用于谱分析。
• 利用所推导的变换计算球面和实射影空间上狄拉克算子的谱和本征函数。
• 证明当维度为奇数时，实射影空间上的谱呈现非对称性，这是由于使用了扭曲伴随表示。

提出的方法

• 利用 pin 群 $\mathrm{Pin}_{k,l}$ 的扭曲伴随表示，定义一个在群作用下保持等变的修正狄拉克算子，尤其在 $k+l$ 为奇数时成立。
• 通过其在 $\mathbb{R}^{m+1}$ 中的浸入构造超曲面上的规范 pin 结构，证明相关的狄拉克旋量丛是平凡的。
• 利用浸入诱导的几何结构和旋量微积分，为这类超曲面上的修正狄拉克算子推导其薛定谔变换。
• 将薛定谔变换应用于 $\mathbb{R}^{m+1}$ 中的调和多项式，将其限制在球面上以获得本征函数。
• 依赖于 $S^m$ 上狄拉克算子的本征函数可表示为次数为 $l$ 或 $l+1$ 的调和齐次多项式的限制这一事实。
• 利用从 $S^m$ 到 $\mathbb{R}P^m$ 的覆盖映射，将球面上的本征函数与射影空间上的本征函数关联起来，特别关注在对径映射下的偶/奇对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇数维流形上使用 pin 群的扭曲伴随表示时，狄拉克算子应如何修改，以确保在群作用下的等变性？
• RQ2 嵌入在欧氏空间中的超曲面上的 pin 结构具有何种结构？它如何影响旋量丛？
• RQ3 能否为这类超曲面显式推导出修正狄拉克算子的薛定谔变换？
• RQ4 使用扭曲伴随表示时，球面上狄拉克算子的谱和本征函数结构是怎样的？
• RQ5 实射影空间上的谱与球面上的谱有何不同，特别是在对称性和重数方面？

主要发现

• 当 $m=2\nu$（偶数）时，$S^m$ 上狄拉克算子的谱为 $\{\pm(l + \frac{1}{2}m) \mid l=0,1,\dots\}$，每个本征值 $\lambda = \pm(l + \frac{1}{2}m)$ 的重数为 $2^\nu \binom{m+l-1}{l}$。
• 当 $m=2\nu+1$（奇数）时，$S^m$ 上泡利算子的谱为 $\{\pm(l + \frac{1}{2}m) \mid l=0,1,\dots\}$，重数公式相同。
• 在 $S^m$ 上的本征函数是次数为 $l$（对应正本征值）或 $l+1$（对应负本征值）的 $S$-值调和多项式的限制，其中 $S$ 是 $2^\nu$ 维旋量空间。
• 在 $\mathbb{R}P^m$ 上，当 $m=2\nu$ 时，谱为 $\{-\frac{1}{2} \pm (2l + \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}) \mid l=0,1,\dots\}$，由于非可定向结构，显示出非对称性。
• 在 $\mathbb{R}P^m$ 上，本征值 $\lambda$ 的重数为 $2^\nu \binom{|\lambda| + \frac{1}{2}m - 1}{|\lambda| - \frac{1}{2}m}$，证实了谱的非对称性。
• 所有 $\mathbb{R}P^m$ 上的旋量场均来自 $S^m$ 上的偶旋量场，这是由于覆盖映射 $S^m \to \mathbb{R}P^m$ 的对径对称性。