[论文解读] The Dirichlet elliptic problem involving regional fractional Laplacian

Huyuan Chen|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在有界 $C^2$ 域 $Ω \subset \mathbb{R}^N$ 上建立了区域分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha_\Omega$ 的狄利克雷问题弱解与极弱解的存在性与唯一性，其中 $\alpha \in (1/2, 1)$。本文证明了当数据 $f \in L^2(\Omega)$，$f \in L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$，以及 $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 时，解存在，其中 $\rho(x) = \text{dist}(x, \partial\Omega)$ 且 $\beta = 2\alpha - 1$，并给出了精确的 $L^1$ 与 $H^\alpha_0$ 估计。

ABSTRACT

In this paper, we consider the solutions for elliptic equations involving regional fractional Laplacian \begin{equation}\label{0} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-Δ)^α_Ωu=f \qquad & { m in}\quad Ω,\\[2mm] \phantom{ (-Δ)^α} \displaystyle u=g\quad & { m on}\quad \partial Ω, \end{array} \end{equation} where $Ω$ is a bounded open domain in $\mathbb{R}^N$ ($N\ge 2$) with $C^2$ boundary $\partialΩ$, $α\in(\frac12,1)$ and the operator $(-Δ)^α_Ω$ denotes the regional fractional Laplacian. We prove that when $g\equiv0$, problem ( ef{0}) admits a unique weak solution in the cases that $f\in L^2(Ω)$, $f\in L^1(Ω, ρ^βdx)$ and $f\in \mathcal{M}(Ω,ρ^β)$, here $ρ(x)={ m dist}(x,\partialΩ)$, $β=2α-1$ and $\mathcal{M}(Ω,ρ^β)$ is a space of all Radon measures $ν$ satisfying $\int_Ωρ^βd|ν|

研究动机与目标

• 建立区域分数阶拉普拉斯狄利克雷问题在零边界条件下弱解的存在性与唯一性。
• 将可解性框架扩展至 $L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$ 中的数据与 $\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 中的Radon测度，其中 $\beta = 2\alpha - 1$。
• 为具有任意边界数据 $g \in C^2(\partial\Omega)$ 的经典解推导一个分部积分公式。
• 刻画极弱解的合适测试函数空间 $\mathbb{X}_\alpha$ 与 $\mathbb{D}_\beta$ 以及边界项。

提出的方法

• 将区域分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha_\Omega$ 定义为在 $\Omega$ 上排除点 $x$ 处奇点的截断奇异积分的极限。
• 通过变分形式，利用具有Gagliardo型范数与内积的希尔伯特空间 $H^\alpha_0(\Omega)$ 定义弱解。
• 引入空间 $\mathbb{X}_\alpha$，即在 $\partial\Omega$ 上消失的连续函数，且满足 $\|(-\Delta)^\alpha_\Omega \xi\|_{L^\infty(\Omega)} < \infty$，并引入 $\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 以表示测度数据。
• 通过对偶性定义极弱解：对所有 $\xi \in \mathbb{X}_\alpha$，有 $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega \xi \, dx = \int_\Omega \xi \, df$。
• 应用 Dunford-Pettis 定理，从逼近序列中提取 $L^1(\Omega)$ 中的弱极限。
• 使用分部积分公式 $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega v (-\Delta)^\alpha_\Omega u \, dx + \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial^\beta u}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega - \int_{\partial\Omega} u \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$，其中 $u,v \in \mathbb{D}_\beta$。
• 构造边界数据 $g$ 的调和延拓 $G$，并将解分解为 $u_g = u_0 + G$，利用 $G$ 的正则性与加权 $L^\infty$ 范数中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，区域分数阶拉普拉斯狄利克雷问题在 $H^\alpha_0(\Omega)$ 中存在唯一的弱解？
• RQ2 可解性框架能否扩展至 $f \in L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$ 与 $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$，其中 $\beta = 2\alpha - 1$？
• RQ3 当 $f$ 为测度时，极弱解的合适测试函数空间是什么？
• RQ4 如何为具有非零边界数据的经典解推导一个分部积分公式？
• RQ5 在 $f$ 与 $g$ 满足正则性假设时，非齐次问题的解 $u_{f,g}$ 是否属于空间 $\mathbb{D}_\beta$？

主要发现

• 当 $f \in L^2(\Omega)$ 时，问题在 $H^\alpha_0(\Omega)$ 中存在唯一的弱解 $u_f$，且满足 $\|u_f\|_{H^\alpha_0(\Omega)} \leq c_1 \|f\|_{L^2(\Omega)}$。
• 当 $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 时，问题在 $L^1(\Omega)$ 中存在唯一的极弱解 $u_f$，且满足 $\|u_f\|_{L^1(\Omega)} \leq c_2 \|f\|_{\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)}$。
• 解序列 $\{u_n\}$ 在 $L^1(\Omega)$ 中一致有界且一致可积，依据 Dunford-Pettis 定理，确保了弱紧性。
• 对于 $u,v \in \mathbb{D}_\beta$，分部积分公式成立：$\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega v (-\Delta)^\alpha_\Omega u \, dx + \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial^\beta u}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega - \int_{\partial\Omega} u \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$。
• 当 $f \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$ 且 $g \in C^2(\partial\Omega)$ 时，经典解满足：对所有 $v \in \mathbb{X}_\alpha \cap \mathbb{D}_\beta$，有 $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega f v \, dx + \int_{\partial\Omega} g \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$。
• 将 $g$ 延拓至 $\bar{\Omega}$ 的函数 $G$ 满足 $|(-\Delta)^\alpha_\Omega G(x)| \leq c_{55} \rho(x)^{-\beta}$，从而确保在加权 $L^\infty$ 范数中具有控制性。