[论文解读] The Dirichlet problem for singular fully nonlinear operators

Isabeau Birindelli, F. Demengel|ArXiv.org|Sep 21, 2006

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 29

一句话总结

本文建立了含非齐次项和非零边界数据的奇异完全非线性算子的狄利克雷问题的存在性、最大值原理和比较原理。当 $-h(x,t)/t^{α+1}$ 关于 $t$ 非减时，证明了比较原理成立，并在该条件不成立时构造了反例，通过粘性解方法将先前结果推广至具有变号数据和一般 $h$-项的算子。

ABSTRACT

In this paper we prove existence of (viscosity) solutions of Dirichlet problems concerning fully nonlinear elliptic operator, which are either degenerate or singular when the gradient of the solution is zero. For this class of operators it is possible to extend the concept of eigenvalue, this paper concerns the cases when the inf of the principal eigenvalues is positive i.e. when both the maximum and the minimum principle holds.

研究动机与目标

• 将最大值与比较原理推广至具有非齐次项和非零边界条件的奇异完全非线性算子。
• 刻画下项 $h(x,u)$ 的条件，以确保比较原理的有效性。
• 在 $h(x,u) = h_1(x,u) - h_2(x,u)$ 且满足特定正则性和衰减条件时，证明狄利克雷问题粘性解的存在性。
• 通过迭代构造子解与超解序列，构造反例以说明当 $h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 为非增时比较原理的失效，从而证明该条件的最优性。

提出的方法

• 采用完全非线性 PDE 的粘性解理论，特别依赖于局部比较检验。
• 对算子 $F$ 施加结构条件 (H1)–(H5)，包括在 $p$ 上的齐次性度数为 $\alpha$，以及带权 $|p|^\alpha$ 的一致椭圆性。
• 在假设 $h(x,\cdot)$ 非增且 $h(x,0) = 0$ 的条件下应用最大值原理。
• 当 $t \mapsto -h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 在 $\mathbb{R}^+$ 上非减时，利用扰动和屏障论证方法建立比较原理。
• 通过迭代构造子解与超解序列，构造反例以说明当单调性条件不成立时解的非唯一性。
• 在假设 $h_i(\cdot,t) \in L^\infty$、$h_i(\cdot,0) = 0$ 且 $\lim_{t \to \infty} h_2(x,t)/t^{\alpha+1} = 0$ 的条件下，利用庞托尔方法和逼近法证明解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $h(x,u)$ 条件下，奇异完全非线性狄利克雷问题在非零边界数据下比较原理成立？
• RQ2 最大值原理能否推广至具有非齐次项和变号数据的算子？
• RQ3 确保粘性解唯一性的 $h(x,u)$ 的最优条件是什么？
• RQ4 当 $h(x,u)$ 分解为具有受控增长的非增分量时，如何建立解的存在性？
• RQ5 对 $-h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 的单调性条件是否必要？当该条件不成立时会发生什么？

主要发现

• 若 $t \mapsto -h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 在 $\mathbb{R}^+$ 上非减，则比较原理成立，且该条件是最优的。
• 构造了反例：当 $h(x,t) = -\beta t^{1+q}$ 且 $q < \alpha$ 时，说明当单调性条件不成立时解不唯一。
• 当 $\lambda < \min\{\overline{\lambda}, \underline{\lambda}\}$ 时，在假设 $h(x,\cdot)$ 非增且 $h(x,0) = 0$ 的条件下，最大值原理成立。
• 在 $f$ 连续且边界数据 $g$ 为 $C^2$ 的条件下，若 $h(x,u) = h_1(x,u) - h_2(x,u)$，其中 $h_i$ 非增、$h_i(x,0) = 0$，且 $\lim_{t \to \infty} h_2(x,t)/t^{\alpha+1} = 0$，则证明了粘性解的存在性。
• 通过最大值原理定义特征值 $\overline{\lambda}$，并存在非平凡非负解 $\phi_1$ 满足相应的特征值问题。
• 当 $f_1 < f_2 - m$ 时，解 $u$ 满足 $u \geq \sigma$ 在 $\partial\Omega$ 上，且该结论在 $\varepsilon \to 0$ 的极限下保持不变。