[论文解读] The disappearance of causality at small scale in almost-commutative manifolds

Nadir Bizi, Fabien Besnard|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文利用形如 $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 的几乎交换代数研究非交换时空模型中的因果性，其中 $M$ 是一个紧致可度量化的空间，$A_f$ 是一个有限维非交换代数。研究证明，若因果性通过此类代数中的一个同构锥（isocone）编码，则时空 $M$ 上的偏序关系在小尺度下必然变得平凡——这意味着在非交换几何框架中，因果性在普朗克尺度下根本上会消失。

ABSTRACT

This paper continues the investigations of noncommutative ordered spaces put forward by one of the authors. These metaphoric spaces are defined dually by so-called \\emph{isocones} which generalize to the noncommutative setting the convex cones of order-preserving functions. In this paper we will consider the case of isocones inside almost-commutative algebras of the form ${\\cal C}(M)\\otimes A_f$, with $M$ a compact metrizable space. We will give a family of isocones in such an algebra with the property that every possible isocone is contained in exactly one member of the family. We conjecture that this family is in fact a complete classification, a hypothesis related with the noncommutative Stone-Weierstrass conjecture. We also obtain that every isocone in ${\\cal C}(M)\\otimes A_f$, with $A_f$ noncommutative, induces an order relation on $M$ with the property that every point in $M$ lies in a neighbourhood of incomparable points. Thus, if the causal order relation on spacetime is induced by an isocone in an almost-commutative (but not commutative) algebra, then causality must disappear at small scale.

研究动机与目标

• 利用 $I^*$-代数框架研究非交换时空模型中因果序的结构。
• 对几乎交换代数 $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 中的同构锥进行分类，其中 $A_f$ 为非交换代数。
• 确定在这些模型中因果性是否能在小尺度下被一致定义。
• 探讨非交换性对时空中局部因果序存在性的影响。
• 检验因果性在由非交换代数诱导时，必须在小尺度下消失的假设。

提出的方法

• 通过同构锥（$C^*$-代数中的凸锥）定义非交换有序空间——推广了保序函数的概念。
• 研究几乎交换代数 $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 中的同构锥，其中 $M$ 为紧致可度量化的空间，$A_f$ 为有限维且非交换的代数。
• 构造一族同构锥，使得 $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 中的每一个同构锥恰好包含于该族的一个成员中。
• 证明：仅当严格序 $\prec$ 也闭合时，$M$ 上的闭合偏序 $\preceq$ 才能由同构锥诱导。
• 利用拓扑与代数条件（$\preceq$ 和 $\prec$ 的闭合性）推导因果性局部结构的约束。
• 应用非交换魏尔斯特拉斯逼近猜想，论证同构锥分类的完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $A_f$ 为非交换代数时，能否由 $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 中的同构锥诱导出时空 $M$ 上的闭合偏序？
• RQ2 在非交换设定下，严格序 $\prec$ 必须满足何种拓扑条件，才能使因果性定义良好？
• RQ3 $A_f$ 的非交换性是否必然导致因果性在小尺度下崩溃？
• RQ4 本文构造的同构锥族是否为几乎交换情形下所有可能的 $I^*$-代数的完整分类？
• RQ5 与因果集等其他非交换因果模型相比，$I^*$-代数方法在因果性方面有何异同？

主要发现

• 在 $A_f$ 为非交换代数时，$\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 中的每一个同构锥都会在 $M$ 上诱导出一个偏序，使得每个点都位于与其他点不可比较的邻域中。
• 仅当严格序 $\prec$ 也闭合时，$M$ 上的闭合偏序 $\preceq$ 才能由同构锥诱导。
• $\prec$ 的闭合性意味着 $M$ 中任意点都不具有一个邻域，使其与该邻域内所有其他点均可比较，这意味着因果性无法在局部定义。
• 该结果意味着，在任何因果结构由几乎交换代数中同构锥诱导的非交换时空模型中，因果性必须在小尺度下消失。
• 该发现与 [KLV14] 和 [ASZ14] 的结果一致，尽管方法完全不同，表明因果性在量子引力模型中具有稳健的非局域性。
• 基于非交换魏尔斯特拉斯逼近猜想，推测本文构造的同构锥族是几乎交换设定下 $I^*$-代数的完整分类。