[论文解读] The Discreet Charm of the Discrete Series in DS$_2$

Dionysios Anninos, Tarek Anous+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2023

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 4

一句话总结

本文研究了二维 de Sitter 空间（dS₂）中离散系列幺正不可约表示（UIRs）的作用，提出其对相互作用标量两点函数的 Källén-Lehmann 谱分解有贡献。研究表明，在 dS₂ 上的 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 规范理论中，离散系列算符会出现，尽管它们在规范不变的希尔伯特空间中被投影出去——这与半经典引力中 de Sitter 不变量态的投影机制类似——同时，这些算符也与大-$N$ 极限下包含无限离散系列算符的 SYK 型模型相关联。

ABSTRACT

We study quantum field theories placed on a two-dimensional de Sitter spacetime (dS$_2$) with an eye on the group-theoretic organisation of single and multi-particle states. We explore the distinguished role of the discrete series unitary irreducible representation (UIR) in the Hilbert space. By employing previous attempts to realise these states in free tachyonic scalar field theories, we propose how the discrete series may contribute to the Källén-Lehmann decomposition of an interacting scalar two-point function. We also study BF gauge theories with $SL(N,\mathbb{R})$ gauge group in dS$_2$ and establish a relation between the discrete series UIRs and the operator content of these theories. Although present at the level of the operators, states carrying discrete series quantum numbers are projected out of the gauge-invariant Hilbert space. This projection is reminiscent of what happens for quantum field theories coupled to semiclassical de Sitter gravity, where we must project onto the subspace of de Sitter invariant states. We discuss how to impose the diffeomorphism constraints on local field-theory operators coupled to two-dimensional gravity in de Sitter, with particular emphasis on the role of contact terms. Finally, we discuss an SYK-type model with a random two-body interaction that encodes an infinite tower of discrete series operators. We speculate on its potential microscopic connection to the $SL(N,\mathbb{R})$ BF theory in the large-$N$ limit.

研究动机与目标

• 通过幺正不可约表示（UIRs）理解 dS₂ 上量子场论中单粒子与多粒子态的群论组织结构。
• 研究离散系列 UIRs 如何贡献于 dS₂ 中相互作用标量两点函数的 Källén-Lehmann 谱分解。
• 探索在 dS₂ 上的 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 规范理论中离散系列算符的出现及其从规范不变希尔伯特空间中被投影的机制。
• 建立具有随机两体相互作用的 SYK 型模型与 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 理论在大-$N$ 极限下的潜在微观联系。
• 分析在 de Sitter 空间中与二维引力耦合的局域场论中，接触项与微分同胚约束的作用。

提出的方法

• 利用 $SL(2,\mathbb{R})$ 的表示理论，通过主系列和离散系列 UIRs 对 dS₂ 中的单粒子态进行分类。
• 对相互作用标量两点函数应用 Källén-Lehmann 谱分解，提出离散系列态的贡献。
• 在 dS₂ 上构建 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 规范理论，识别出规范投影前算符内容中的离散系列 UIRs。
• 对与二维引力耦合的局域场论算符施加微分同胚约束，强调接触项在关联函数中的作用。
• 分析具有随机两体相互作用的 $q=2$ SYK 模型，表明其编码了无限塔的离散系列算符。
• 使用 Harish-Chandra 特征标计算主系列表示的张量积分解，揭示离散系列分量的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 dS₂ 上的相互作用标量 QFT 中，离散系列 UIRs 如何贡献于两点函数的谱分解？
• RQ2 在 dS₂ 上的 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 规范理论中，离散系列表示以何种方式出现，为何它们从物理希尔伯特空间中被投影出去？
• RQ3 在大-$N$ 极限下，$q=2$ SYK 模型与 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 理论之间存在何种微观联系？
• RQ4 在未来 null 超曲面 ($\mathcal{I}^{+}$) 上的关联函数中的接触项，如何与耦合到 QFT 的二维引力中的微分同胚约束相关联？
• RQ5 能否通过特征标分析系统地提取主系列表示张量积中离散系列结构？

主要发现

• 通过 Harish-Chandra 特征标分解表明，两个主系列表示的张量积中会出现离散系列 UIRs，密度 $\rho^{\text{indep.}}(\lambda)$ 对 $\Delta \geq 1$ 的 $\chi_{D^{+}_{\Delta} \oplus D^{-}_{\Delta}}(t)$ 求和。
• 在 dS₂ 上相互作用标量 QFT 的两点函数谱分解中，可能包含来自离散系列态的贡献，表明其在自由理论之外也具有物理重要性。
• 在 dS₂ 上的 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 理论中，离散系列算符出现在预希尔伯特空间中，但在规范不变希尔伯特空间中被投影出去，这与半经典引力中 de Sitter 不变量态的选择机制类似。
• $q=2$ SYK 模型在具有随机两体相互作用时，实现了无限塔的离散系列算符，表明其在大-$N$ 极限下可能是 $SL(N,\mathbb{R})$ BF 理论的潜在微观实现。
• 在 $\mathcal{I}^{+}$ 上的两点及更高点函数中，接触项被证明对在二维引力耦合 QFT 中一致实现微分同胚约束至关重要。
• 离散系列表示 $D^{+}_{\Delta} \oplus D^{-}_{\Delta}$ 从 $\chi^{2}_{\pi_{\nu}}(t)$ 的特征标分解中浮现，证实其在重场多粒子态中的存在。