[论文解读] The discrete Fourier transform of $r$-even functions

László Tóth, Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用 19

一句话总结

本文对 $r$-偶数算术函数——即周期为 $r$ 且满足与 $r$ 的因数相关的对称性条件的函数——的离散傅里叶变换（DFT）进行了全面研究。通过利用 DFT 框架，作者推导出此类函数 DFT 的显式公式，推广了 Ramanujan 和的性质，并建立了与平均值和狄利克雷级数的联系，为已知的数论结果提供了一种统一且简化的处理方法。

ABSTRACT

We give a detailed study of the discrete Fourier transform (DFT) of $r$-even arithmetic functions, which form a subspace of the space of $r$-periodic arithmetic functions. We consider the DFT of sequences of $r$-even functions, their mean values and Dirichlet series. Our results generalize properties of the Ramanujan sum. We show that some known properties of $r$-even functions and of the Ramanujan sum can be obtained in a simple manner via the DFT.

研究动机与目标

• 系统分析 $r$-偶数算术函数的离散傅里叶变换（DFT），此类函数是具有特定对称性的 $r$-周期函数。
• 利用 DFT 框架推广已知的 Ramanujan 和性质，提供统一且简化的推导。
• 研究 $r$-偶数函数及其序列的 DFT 的平均值和狄利克雷级数性质。
• 建立 $r$-偶数函数的 DFT 与 Möbius 函数、von Mangoldt 函数等经典算术函数之间的联系。

提出的方法

• 将 $r$-偶数函数定义为满足 $f(n) = f(\text{gcd}(n,r))$ 的 $r$-周期算术函数的子空间。
• 使用离散傅里叶变换（DFT）定义：$\widehat{f}(n) = \sum_{k \mod r} f(k) \exp(-2\pi i k n / r)$，并给出其逆变换和帕塞瓦尔恒等式。
• 通过 DFT 给出 $r$-偶数函数的新表征：$\widehat{f}(n) = \sum_{d \mid \gcd(n,r)} d \cdot f'(r/d)$，其中 $f' = \mu * f$。
• 将 DFT 应用于 $r$-偶数函数序列，推导出涉及欧拉常数和 von Mangoldt 函数的平均值公式。
• 建立 $r$-偶数函数 DFT 的狄利克雷级数恒等式，包括 $\sum_{r=1}^\infty \frac{\widehat{f}_r(n)}{r^s} = \frac{\sigma_{s-1}(n)}{n^{s-1}\zeta(s)} \sum_{r=1}^\infty \frac{F(r)}{r^s}$，适用于完全偶数序列。
• 利用柯西卷积和积性函数的性质，推导出涉及 $f * \Lambda$ 和广义欧拉函数 $\phi_k$ 的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从算术结构角度表征 $r$-偶数函数的 DFT？
• RQ2 $r$-偶数函数及其序列的 DFT 的平均值和狄利克雷级数性质是什么？
• RQ3 已知的 Ramanujan 和及相关算术函数结果如何从 DFT 框架中导出？
• RQ4 $r$-偶数函数的 DFT 与 von Mangoldt 函数或 Möbius 函数之间存在何种关系？
• RQ5 $r$-偶数函数序列的 DFT 是否能通过已知算术函数的狄利克雷级数表达？

主要发现

• $r$-偶数函数 $f$ 的 DFT 由 $\widehat{f}(n) = \sum_{d \mid \gcd(n,r)} d \cdot f'(r/d)$ 给出，其中 $f' = \mu * f$，提供了新的且简洁的表征。
• $\widehat{f}$ 的平均值为 $f(r)$，且对任意 $x \in \mathbb{N}$ 满足 $r \mid x$，有 $\sum_{n \leq x} \widehat{f}(n) = f(r)x$，误差项有界于 $\sum_{d \mid r} d |f'(r/d)|$。
• 狄利克雷级数 $\sum_{n \leq x} \frac{\widehat{f}(n)}{n} = f(r)(\log x + C) - (f * \Lambda)(r) + \mathcal{O}(x^{-1} \sum_{d \mid r} d |f'(r/d)|)$，推广了 Ramanujan 的公式。
• 对于完全偶数序列 $f_r(n) = F(\gcd(n,r))$，狄利克雷级数 $\sum_{r=1}^\infty \frac{\widehat{f}_r(n)}{r^s} = \frac{\sigma_{s-1}(n)}{n^{s-1}\zeta(s)} \sum_{r=1}^\infty \frac{F(r)}{r^s}$ 成立，当 $\operatorname{Re} s > \max\{1, a_F\}$ 时收敛。
• 当 $\operatorname{Re} s > 1$ 时，恒等式 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\widehat{f}_r(n)}{n^s} = \zeta(s)(F * \phi_{1-s})(r)$ 成立，其中 $\phi_k(r) = \sum_{d \mid r} d^k \mu(r/d)$。
• 当 $f(r) = 0$ 时，无穷级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\widehat{f}(n)}{n} = -(f * \Lambda)(r)$ 成立，推广了 Ramanujan 的恒等式 $\sum_{n=1}^\infty \frac{c_r(n)}{n} = -\Lambda(r)$。