[论文解读] The Discrete-Time Facilitated Totally Asymmetric Simple Exclusion Process

Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了离散时间促进型全向排斥过程（F-TASEP），一种具有确定性促进粒子跳跃的一维格气模型。它在密度 ρ < 1/2、1/2 < ρ < 2/3 和 ρ > 2/3 处识别出三种不同的相，表明系统在 ρ = 1/2 和 ρ = 2/3 处达到具有相变的稳态，并在不同区域建立了粒子对关联的精确关联恒等式。

ABSTRACT

We describe the translation invariant stationary states of the one dimensional discrete-time facilitated totally asymmetric simple exclusion process (F-TASEP). In this system a particle at site $j$ in $Z$ jumps, at integer times, to site $j+1$, provided site $j-1$ is occupied and site $j+1$ is empty. This defines a deterministic noninvertible dynamical evolution from any specified initial configuration on $\{0,1\}^{Z}$. When started with a Bernoulli product measure at density $ρ$ the system approaches a stationary state, with phase transitions at $ρ=1/2$ and $ρ=2/3$. We discuss various properties of these states in the different density regimes $0

研究动机与目标

• 表征在 Z 上离散时间 F-TASEP 的平移不变稳态。
• 识别系统在临界密度 ρ = 1/2 和 ρ = 2/3 处的行为相变。
• 确定当初始为密度 ρ 的伯努利乘积测度时，系统的长时间行为。
• 在不同密度区域建立粒子对关联的精确恒等式 g(j) = ⟨η(i)η(i+j)⟩。
• 通过映射到零距过程（TASM）分析 F-TASEP 的动力学和稳态测度。

提出的方法

• 作者利用 F-TASEP 与全向堆叠模型（TASM）之间的双射对应关系，其中堆叠高度表示由单个空位分隔的粒子簇。
• 他们通过 TASM 分析动力学，该模型以确定性方式演化：每个拥有 ≥2 个粒子的站点在每个离散时间步向右发送一个粒子。
• 通过研究 TASM 的不变测度并将其反向映射回 F-TASEP 的配置空间，推导出系统的稳态。
• 他们证明，对于任意初始配置，若密度 ρ < 1/2，则系统在有限时间内达到冻结配置（不再发生跳跃）。
• 他们推导出在长度为 k 的区间上对关联和的精确恒等式：∑_{j=kn+1}^{k(n+1)} g(j) = kρ²，其中 ρ ≤ 1/2 时 k=2，ρ ≥ 2/3 时 k=3。
• 对于中间区域 1/2 ≤ ρ ≤ 2/3，他们基于数值模拟推测该恒等式在 k=6 时也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不同粒子密度，离散时间 F-TASEP 的平移不变稳态是什么？
• RQ2 系统在临界密度 ρ = 1/2 和 ρ = 2/3 处的长时间行为如何变化？
• RQ3 在每个密度区域中，对关联函数 g(j) = ⟨η(i)η(i+j)⟩ 的结构如何？
• RQ4 F-TASEP 的稳态是否可通过映射到零距过程（TASM）来表征？
• RQ5 在稳态下，对固定长度区间的对关联和是否存在普遍的标度律？

主要发现

• 当 ρ < 1/2 时，系统在有限时间内达到冻结配置，其稳态与标准离散时间 TASEP 在密度 ρ 下的稳态或其在密度 1−ρ 下的粒子-空位对偶完全相同。
• 当 0 < ρ < 1/2 时，长度为 2 的区间上对关联和满足 ∑_{j=2n+1}^{2(n+1)} g(j) = 2ρ²。
• 当 2/3 < ρ < 1 时，长度为 3 的区间上对关联和满足 ∑_{j=3n+1}^{3(n+1)} g(j) = 3ρ²。
• 在中间区域 1/2 < ρ < 2/3 中，作者基于数值证据推测 ∑_{j=6n+1}^{6(n+1)} g(j) = 6ρ² 成立。
• 系统在 ρ = 1/2 和 ρ = 2/3 处表现出非平衡相变，分隔出定性不同的动力学行为。
• 对于半无限系统，若边界条件要求站点 0 始终为空，则在任意 τ-不变初始测度下，奇数站点的粒子密度随时间保持恒定。