[论文解读] The discriminant length for contact and Legendrian isotopies

Vincent Colin, Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|May 9, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了判别度量（discriminant metric），这是一种在接触同构群的万有覆叠上的整数值双不变度量，通过接触同构的判别点来定义。该文证明了在 R^{2n}×S^1 和 RP^{2n+1} 上的标准接触结构下，该度量是无界的，而在 R^{2n+1} 和 S^{2n+1} 上则是有界的，从而导致接触碎片化范数无界，并为李想达同痕引入了新的不变量。

ABSTRACT

We define an integer-valued non-degenerate bi-invariant metric (the discriminant metric) on the universal cover of the identity component of the contactomorphism group of any contact manifold. This metric has a very simple geometric definition, based on the notion of discriminant points of contactomorphisms. Using generating functions we prove that the discriminant metric is unbounded for the standard contact structures on R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. On the other hand we also show by elementary arguments that the discriminant metric is bounded for the standard contact structures on R^{2n+1} and S^{2n+1}. As an application of these results we get that the contact fragmentation norm is unbounded for R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. By elaborating on the construction of the discriminant metric we then define a second integer-valued bi-invariant metric, that we call the discriminant oscillation metric. This second metric is non-degenerate if and only if the contact manifold is orderable in the sense of Eliashberg and Polterovich and, in this case, it is compatible with the partial order. Finally we define the discriminant and oscillation lengths of a Legendrian isotopy, and prove that they are unbounded for T^{\ast}B x S^1 for any closed manifold B, for RP^{2n+1} and for some 3-dimensional circle bundles.

研究动机与目标

• 为接触同构群的单位分支的万有覆叠定义一种新的整数值双不变度量。
• 分析该度量在标准接触流形（特别是 R^{2n+1}、S^{2n+1}、R^{2n}×S^1 和 RP^{2n+1}）上的有界性性质。
• 将该度量应用于证明某些接触流形上接触碎片化范数的无界性。
• 引入并研究判别振荡度量，将其与接触可序性及偏序关系联系起来。
• 为李想达同痕定义并分析判别长度与振荡长度，证明其在特定情况下的无界性。

提出的方法

• 通过判别点（即接触同构在某种意义下非局部微分同胚的点）的概念来定义判别度量。
• 使用生成函数证明判别度量在 R^{2n}×S^1 和 RP^{2n+1} 上的无界性。
• 运用初等几何论证，证明该度量在 R^{2n+1} 和 S^{2n+1} 上的有界性。
• 将判别振荡度量构造为第二种整数值双不变度量，证明其非退化性恰好当接触流形可序时成立。
• 将判别振荡度量与 Elisha 和 Polterovich 定义的接触同构上的偏序关系联系起来。
• 定义李想达同痕的判别长度与振荡长度，并通过几何与拓扑论证分析其无界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R^{2n}×S^1 的标准接触结构下，判别度量是否无界？
• RQ2 在 R^{2n+1} 的标准接触结构下，判别度量是否为有界？
• RQ3 判别度量的无界性是否意味着 R^{2n}×S^1 和 RP^{2n+1} 上接触碎片化范数的无界性？
• RQ4 判别振荡度量在何时非退化？其与接触可序性的关系为何？
• RQ5 T^*B×S^1、RP^{2n+1} 以及某些三维圆丛上的李想达同痕的判别长度与振荡长度是否无界？

主要发现

• 在 R^{2n}×S^1 的标准接触结构下，判别度量是无界的。
• 在 R^{2n+1} 的标准接触结构下，判别度量是有界的。
• 在 RP^{2n+1} 的标准接触结构下，判别度量是无界的。
• 在 S^{2n+1} 的标准接触结构下，判别度量是有界的。
• 由于判别度量的无界性，接触碎片化范数在 R^{2n}×S^1 和 RP^{2n+1} 上是无界的。
• 李想达同痕的判别长度与振荡长度在 T^*B×S^1、RP^{2n+1} 以及某些三维圆丛上是无界的。