[论文解读] The distinguishing number of the augmented cube and hypercube powers

Melody Chan|ArXiv.org|Jan 14, 2006

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通过证明当 $2 < p < n-1$ 时，$n$-维超立方体 $Q_n$ 的 $p$-次幂 $Q_n^p$ 的区分数为 2，解决了一个开放问题，完成了对超立方体幂的区分数的分类。此外，本文计算了增强立方 $AQ_n$ 的区分数，得出当 $n \geq 4$ 时 $D(AQ_n) = 2$，且 $D(AQ_1)=2$，$D(AQ_2)=4$，$D(AQ_3)=3$，从而回答了关于区分数先上升后下降至 2 的图序列存在的一个开放问题。

ABSTRACT

The distinguishing number of a graph G, denoted D(G), is the minimum number of colors such that there exists a coloring of the vertices of G where no nontrivial graph automorphism is color-preserving. In this paper, we show that the distinguishing number of p-th graph power of the n-dimensional hypercube is 2 whenever 2 &lt; p &lt; n-1. This completes the study of the distinguishing number of hypercube powers. We also compute the distinguishing number of the augmented cube, a variant of the hypercube, answering an open question.

研究动机与目标

• 解决文献 [3] 提出的关于 $Q_n^p$ 在 $2 < p < n-1$ 时的区分数的开放问题。
• 计算所有 $n \geq 1$ 的增强立方 $AQ_n$ 的区分数。
• 回答文献 [1] 中关于是否存在图序列，其区分数先上升至某个 $k \geq 4$，然后下降至 2 的开放问题。
• 完成对超立方体幂的区分数的分类，并刻画一类新图族——增强立方的区分数。

提出的方法

• 利用文献 [10] 中关于超立方体幂的自同构群的关键结果，即当 $p$ 为奇数时 $\operatorname{Aut}(Q_n^p) \cong \operatorname{Aut}(Q_n)$，当 $p$ 为偶数时 $\operatorname{Aut}(Q_n^p) \cong \operatorname{Aut}(Q_n^2)$。
• 利用若 $\operatorname{Aut}(G_1) \subseteq \operatorname{Aut}(G_2)$，则 $D(G_1) \leq D(G_2)$ 的事实，将 $Q_n^p$ 的区分数与 $Q_n$ 和 $Q_n^2$ 的区分数联系起来。
• 基于顶点邻接性和自同构不变性进行结构论证，证明唯一固定特定顶点集的自同构是平凡的，从而证明当 $n \geq 4$ 时 $D(AQ_n) = 2$。
• 通过二进制向量和距离性质的案例分析，证明全零和全-one 顶点由其与特定集合 $M$ 的邻接关系唯一确定，从而强制自同构保持它们不变。
• 结合已知结果：当 $n \geq 4$ 时 $D(Q_n) = 2$，且当 $n \geq 4$ 时 $D(Q_n^2) = 2$，并利用自同构群同构关系，得出当 $2 < p < n - 1$ 时 $D(Q_n^p) = 2$。
• 通过结构分析和已知自同构群性质，直接验证 $AQ_1$、$AQ_2$ 和 $AQ_3$ 的区分数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $Q_n$ 为 $n$-维超立方体时，$Q_n^p$ 在 $2 < p < n - 1$ 时的区分数是多少？
• RQ2 对每个 $n \geq 1$，增强立方 $AQ_n$ 的区分数是多少？
• RQ3 是否存在一个图序列 $\{G_n\}_{n=1}^\infty$，其区分数先上升至某个 $k \geq 4$，然后下降至 2，如文献 [1] 所提出？
• RQ4 当 $2 < p < n - 1$ 时，超立方体幂 $Q_n^p$ 的自同构群与原始超立方体 $Q_n$ 的自同构群有何关系？
• RQ5 图的区分数能否仅从其自同构群的结构确定，特别是当该群与另一图的自同构群同构时？

主要发现

• 当所有满足 $2 < p < n - 1$ 的 $n$ 和 $p$ 时，区分数 $D(Q_n^p) = 2$，解决了文献 [3] 中的开放问题。
• 增强立方的区分数为 $D(AQ_1) = 2$，$D(AQ_2) = 4$，$D(AQ_3) = 3$，且当所有 $n \geq 4$ 时 $D(AQ_n) = 2$。
• 序列 $\{D(AQ_n)\}_{n=1}^\infty$ 在 $n=2$ 时上升至 4，$n=3$ 时下降至 3，随后稳定在 2，因此回答了文献 [1] 中关于先上升后下降至 2 的序列存在的开放问题。
• 当 $2 < p < n - 1$ 时，$Q_n^p$ 的自同构群同构于 $\operatorname{Aut}(Q_n)$（当 $p$ 为奇数时）或 $\operatorname{Aut}(Q_n^2)$（当 $p$ 为偶数时），这使得区分数得以确定。
• 当 $n \geq 4$ 时，$AQ_n$ 的自同构群的作用方式使得唯一保持 2-着色的自同构是平凡的，通过顶点邻接性和固定集的结构分析，确认了 $D(AQ_n) = 2$。
• 结果表明，图的区分数并非仅由其自同构群的同构类型决定，因为 $\operatorname{Aut}(Q_n^p) \cong \operatorname{Aut}(Q_n)$，但 $D(Q_n^p) = D(Q_n) = 2$，而 $D(Q_n^2) = 2$ 也成立，表明在同构群下具有一致性。