[论文解读] The distribution function of the distance between two random points in a right-angled triangle

Uwe Bäsel|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Historical Geography and Cartography参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文推导了任意直角三角形中两个独立且均匀随机点之间距离的精确概率密度函数与累积分布函数。利用Piefke公式和弦长分布函数，给出了距离分布的闭式表达式，关键结果已扩展至两个全等直角三角形构成矩形的情形。

ABSTRACT

In this paper we obtain the density function and the distribution function of the distance between two uniformly and independently distributed random points in any right-angled triangle. The density function is derived from the chord length distribution function using Piefke's formula. We conclude results for random distances between two congruent right-angled triangles together forming a rectangle.

研究动机与目标

• 使用积分几何方法推导任意直角三角形的弦长分布函数。
• 计算直角三角形中两个均匀随机点之间距离的精确概率密度函数与累积分布函数。
• 将结果扩展至两个全等直角三角形构成矩形的情形，推导相应的距离分布。
• 通过数值模拟与已知矩形结果的对比，验证理论结果的正确性。
• 提供仅依赖于三角形边长和角度的显式密度函数与分布函数公式。

提出的方法

• 使用Piefke公式，将凸集内随机点之间的距离分布与弦长分布关联起来。
• 通过在与三角形相交且弦长 ≤ s 的直线上积分，推导出直角三角形 $ \mathcal{T}_{a,b} $ 的弦长分布函数 $ F(s) $，使用不变测度 $ \mathrm{d}g = \mathrm{d}p\,\mathrm{d}\psi $。
• 根据几何阈值将积分区域分段：$ s < h $，$ h \leq s < a $，$ a \leq s < b $，$ b \leq s < c $，其中 $ h $ 为斜边的高，$ c $ 为斜边长度。
• 引入辅助函数 $ L_1(s,x) = s \arcsin(x/s) $ 和 $ L_2(s,x) = \sqrt{1 - (x/s)^2} $，以表达每个区间内累积测度 $ H_k(s) $ 的形式。
• 采用间接方法，通过结合单个三角形分布与Ghosh已知的矩形结果，计算由两个直角三角形构成的矩形中的距离分布。
• 使用关系式 $ g_2 = 2g_{\mathcal{R}} - g $ 和 $ G_2 = 2G_{\mathcal{R}} - G $，其中 $ g_{\mathcal{R}} $ 为矩形的已知密度，$ g $ 为三角形的密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个均匀随机点在直角三角形中的距离的确切分布函数是什么？
• RQ2 如何利用Piefke公式，通过弦长分布函数推导距离分布函数？
• RQ3 对于给定边长 $ a $ 和 $ b $ 的直角三角形，距离的密度函数与累积分布函数的解析表达式是什么？
• RQ4 由两个全等直角三角形构成的矩形中，距离分布如何与单个三角形的分布相关联？
• RQ5 所推导的公式能否通过数值模拟与已知结果进行对比验证？

主要发现

• 本文推导出直角三角形 $ \mathcal{T}_{a,b} $ 中两个随机点之间距离的分段定义累积分布函数 $ F(s) $，其表达式根据三角形的几何参数在不同区间内有所不同。
• 通过微分 $ F(s) $ 得到密度函数 $ g(s) $，其表达式由涉及 $ a $、$ b $ 和角 $ \alpha = \arctan(a/b) $ 的三角函数与反三角函数构成。
• 对于由两个全等直角三角形构成的矩形，距离密度 $ g_2(s) $ 表示为 $ g_2 = 2g_{\mathcal{R}} - g $，其中 $ g_{\mathcal{R}} $ 为Ghosh研究中已知的矩形密度。
• 矩形的距离分布函数 $ G_2(s) $ 计算为 $ G_2 = 2G_{\mathcal{R}} - G $，其中 $ G_{\mathcal{R}} $ 和 $ G $ 分别为矩形和三角形的累积分布函数。
• 通过 $ 10^7 $ 对点的数值模拟，验证了三角形与矩形情形下理论曲线的准确性，与推导出的解析表达式高度一致。
• 由于在欧氏运动下具有不变性，结果与方向无关，且归一化密度 $ c g(s) $ 仅依赖于比值 $ a/b $，因此可推广至所有相似三角形。