[论文解读] The distribution of integers with a divisor in a given interval

Kevin Ford|ArXiv.org|Jan 18, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文确定了 $ H(x,y,z) $ 的数量级，即不超过 $ x $ 且在区间 $ (y,z] $ 中含有一个因子的整数的个数，适用于所有 $ x,y,z $。通过使用关于均匀顺序统计量和筛法的新结果，本文建立了 $ H_1(x,y,z) $ 和 $ H_r(x,y,z) $ 的精确界限，解决了 Erdős 和 Tenenbaum 长期以来的猜想。

ABSTRACT

We determine the order of magnitude of H(x,y,z), the number of integers n\le x having a divisor in (y,z], for all x,y and z. We also study H_r(x,y,z), the number of integers n\le x having exactly r divisors in (y,z]. When r=1 we establish the order of magnitude of H_1(x,y,z) for all x,y,z satisfying z\le x^{0.49}. For every r\ge 2, $C>1$ and $ε>0$, we determine the the order of magnitude of H_r(x,y,z) when y is large and y+y/(\log y)^{\log 4 -1 - ε} \le z \le \min(y^{C},x^{1/2-ε}). As a consequence of these bounds, we settle a 1960 conjecture of Erdos and several related conjectures. One key element of the proofs is a new result on the distribution of uniform order statistics.

研究动机与目标

• 确定 $ H(x,y,z) $ 的数量级，即不超过 $ x $ 且在 $ (y,z] $ 中至少有一个因子的整数的个数，适用于所有 $ x,y,z $。
• 分析 $ H_r(x,y,z) $，即不超过 $ x $ 且在 $ (y,z] $ 中恰好有 $ r $ 个因子的整数的个数，特别关注 $ r=1 $ 和 $ r \geq 2 $ 的情况。
• 解决 Erdős 在 1960 年提出的关于在 $ (y,2y] $ 中具有因子的整数的密度的猜想，以及 Tenenbaum 关于此类整数分布的若干猜想。
• 在 $ z $ 相对于 $ x $ 不太大的范围内，使用精细的解析数论技术，建立 $ H_r(x,y,z) $ 的一致界限。
• 开发并应用关于均匀顺序统计量分布的新结果，作为分析中的关键工具。

提出的方法

• 使用包含-排除原理和筛法来估计 $ H(x,y,z) $，特别是通过分析 $ (y,z] $ 中因子的最小公倍数的和。
• 引入函数 $ G(\beta) $ 来描述 $ H(x,y,z) $ 的对数衰减中的指数，其中参数 $ \beta $ 与 $ z-y $ 的相对大小相关。
• 应用大筛法的算术形式，以计数满足 $ n - \lambda $ 为素数且 $ n $ 在 $ (y,z] $ 中有因子的整数 $ n \leq x $，尤其在短区间中。
• 定义并分析 $ S^*(t;\sigma) $ 及相关和 $ L(a;\sigma) $，以控制上下界中的误差项。
• 使用均匀顺序统计量的结果来建模 $ (y,z] $ 中因子的分布，从而精确估计恰好有 $ r $ 个此类因子的整数的个数。
• 将主要界限简化为涉及 $ S^*(t;\sigma) $ 的积分估计，再通过指数和与 dyadic 分解技术进行有界化处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ x,y,z $，$ H(x,y,z) $，即不超过 $ x $ 且在 $ (y,z] $ 中具有一个因子的整数的个数，其数量级是什么？
• RQ2 当 $ z \leq x^{1/2-\varepsilon} $ 时，$ H_1(x,y,z) $，即不超过 $ x $ 且在 $ (y,z] $ 中恰好有一个因子的整数的个数，其渐近行为如何？
• RQ3 在 $ y $ 足够大且 $ y + y/(\log y)^{\log 4 - 1 - \varepsilon} \leq z \leq \min(y^C, x^{1/2-\varepsilon}) $ 的范围内，$ H_r(x,y,z) $ 对于 $ r \geq 2 $ 的数量级是什么，且该结果是否一致？
• RQ4 Erdős 的猜想是否成立：$ \varepsilon(y,2y) = (\log y)^{-\delta + o(1)} $，其中 $ \delta = 1 - (1 + \log \log 2)/\log 2 $？
• RQ5 Tenenbaum 建立的 $ H(x,y,z) $ 的界限是否与真实数量级一致，特别是在 $ z \approx y + y/(\log y)^{\log 4 - 1} $ 的临界阈值附近？

主要发现

• 当 $ z \leq x^{1/2 - \varepsilon} $ 时，$ H_1(x,y,z) $ 的数量级被一致地确定，表明在该范围内，具有 $ (y,z] $ 中因子的整数中，大多数恰好有一个这样的因子。
• 对于 $ r \geq 2 $，在范围 $ y + y/(\log y)^{\log 4 - 1 - \varepsilon} \leq z \leq \min(y^C, x^{1/2 - \varepsilon}) $ 内，$ H_r(x,y,z) $ 的数量级被一致确立，且显式依赖于 $ \log y $ 和 $ \xi $。
• Erdős 的猜想 $ \varepsilon(y,2y) = (\log y)^{-\delta + o(1)} $，其中 $ \delta = 0.086071\ldots $，得到证实，解决了 1960 年的问题。
• Tenenbaum 对 $ H(x,y,z) $ 的界限在接近 $ z = y + y/(\log y)^{\log 4 - 1} $ 的临界范围内被证明是精确的，证实了他对真实数量级的猜想。
• 本文确立了当 $ y \to \infty $，$ z \leq \sqrt{x} $，且 $ \xi \to \infty $ 时，$ H(x,y,z) \asymp x / (\log y)^{G(\beta)} \max(1, -\xi) $，其中 $ G(\beta) $ 为分段定义的函数。
• 本文开发了一项关于均匀顺序统计量分布的新结果，并将其作为关键技术工具使用，从而能够精确控制在 $ (y,z] $ 中恰好有 $ r $ 个因子的整数的个数。