[论文解读] The div-curl lemma for sequences whose divergence and curl are compact in W^{-1,1}

Sergio Conti, Georg Dolzmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文为 $L^p$ 与 $L^q$ 中的序列建立了广义的散度-旋度引理，其中即使各序列本身不具一致可积性，其标量积 $u_k \cdot v_k$ 仍具有一致可积性。通过利用咬噬引理和利普希茨截断构造修正序列，证明了在 $\operatorname{div}u_k$ 与 $\operatorname{curl}v_k$ 关于 $W^{-1,1}$ 紧致的条件下，$u_k \cdot v_k$ 弱收敛于 $u \cdot v$ 于 $L^1$，从而将经典补偿紧致性理论推广至更弱的可积性假设。

ABSTRACT

It is shown that $u_k \cdot v_k$ converges weakly to $u\cdot v$ if $u_k\weakto u$ weakly in $L^p$ and $v_k\weakly v$ weakly in $L^q$ with $p, q\in (1,\infty)$, $1/p+1/q=1$, under the additional assumptions that the sequences $\Div u_k$ and $\curl v_k$ are compact in the dual space of $W^{1,\infty}_0$ and that $u_k\cdot v_k$ is equi-integrable. The main point is that we only require equi-integrability of the scalar product $u_k\cdot v_k$ and not of the individual sequences.

研究动机与目标

• 将经典散度-旋度引理推广至仅标量积 $u_k \cdot v_k$ 一致可积，而各序列本身不一致可积的情形。
• 解决非线性晶体塑性中的一个关键挑战，其中 $\det \nabla \varphi_k$ 在 $L^1$ 中紧致，但 $\nabla \varphi_k$ 在 $L^p$ 中不一致有界。
• 在最弱假设下证明 $u_k \cdot v_k$ 的弱 $L^1$ 收敛：$L^p \times L^q$ 中的弱收敛，$\operatorname{div}u_k$ 与 $\operatorname{curl}v_k$ 在 $W^{-1,1}$ 中紧致，且乘积具有一致可积性。
• 通过变量替换为二维非线性弹性模型中行列式的弱连续性提供一个理论框架。

提出的方法

• 应用咬噬引理，提取满足 $|A_k|, |B_k| \to 0$ 的集合 $A_k, B_k$，使得 $|u_k|^p \chi_{\Omega \setminus A_k}$ 与 $|v_k|^q \chi_{\Omega \setminus B_k}$ 一致可积。
• 定义修正序列 $\widetilde{u}_k = u_k \chi_{\Omega \setminus A_k}$，$\widetilde{v}_k = v_k \chi_{\Omega \setminus B_k}$，确保 $\widetilde{u}_k \cdot \widetilde{v}_k$ 与 $u_k \cdot v_k$ 具有相同的弱极限。
• 利用利普希茨截断技术，确保修正序列的散度与旋度分别在 $W^{-1,p}$ 与 $W^{-1,q}$ 中紧致。
• 在修正序列上应用经典散度-旋度引理，得出当 $u=v=0$ 时，$\widetilde{u}_k \cdot \widetilde{v}_k \rightharpoonup 0$ 于 $\mathcal{D}'(\Omega)$。
• 利用 $|u_k|^p$ 的一致可积性与 $\operatorname{div}u_k$ 在 $W^{-1,1}$ 中的强收敛，证明 $\operatorname{div}\widetilde{u}_k \to 0$ 于 $W^{-1,p}$。
• 通过令 $\widetilde{u}_k = u_k - u$，$\widetilde{v}_k = v_k - v$，将一般情形约化为零极限情形，并利用线性性，最终得出 $u_k \cdot v_k \rightharpoonup u \cdot v$ 于 $L^1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典散度-旋度引理能否推广至仅标量积 $u_k \cdot v_k$ 一致可积，而各序列本身不一致可积的情形？
• RQ2 若 $\operatorname{div}u_k$ 与 $\operatorname{curl}v_k$ 在 $W^{-1,1}$ 中紧致，且 $u_k \cdot v_k$ 一致可积，是否能推出乘积的弱 $L^1$ 收敛？
• RQ3 该广义引理能否用于证明非线性弹性模型中变形梯度行列式的弱连续性？
• RQ4 能否构造修正序列 $\widetilde{u}_k$，$\widetilde{v}_k$，使其 $L^p$ 与 $L^q$ 范数一致可积，同时保持乘积的弱极限不变？
• RQ5 在散度与旋度紧致性条件下，$u_k \cdot v_k$ 的最小可积性条件是什么，可保证其在 $L^1$ 中弱收敛？

主要发现

• 在 $u_k \rightharpoonup u$ 于 $L^p$，$v_k \rightharpoonup v$ 于 $L^q$，$\operatorname{div}u_k \to \operatorname{div}u$ 于 $W^{-1,1}$，$\operatorname{curl}v_k \to \operatorname{curl}v$ 于 $W^{-1,1}$，且 $u_k \cdot v_k$ 一致可积的假设下，标量积 $u_k \cdot v_k$ 弱收敛于 $u \cdot v$ 于 $L^1(\Omega)$。
• 关键创新在于仅需对乘积 $u_k \cdot v_k$ 要求一致可积性，而无需对 $|u_k|^p$ 或 $|v_k|^q$ 要求，从而允许应用于个体序列缺乏一致可积性的非线性模型。
• 证明通过咬噬引理与利普希茨截断构造了修正序列 $\widetilde{u}_k$，$\widetilde{v}_k$，确保 $|\widetilde{u}_k|^p$ 与 $|\widetilde{v}_k|^q$ 一致可积，从而可应用经典散度-旋度引理。
• 在 $W^{-1,1}$ 中 $\operatorname{div}u_k$ 的紧致性与 $|u_k|^p$ 的一致可积性共同推出 $\operatorname{div}u_k \to 0$ 于 $W^{-1,p}$，这是论证中的关键步骤。
• 在二维情形下，若 $\nabla\varphi_k = G^k + B^k$，其中 $G^k \rightharpoonup \nabla\varphi$ 于 $L^2$，$B^k \to 0$ 于 $L^1$，且 $\det\nabla\varphi_k$ 一致可积，则有 $\det\nabla\varphi_k \rightharpoonup \det\nabla\varphi$ 于 $L^1$。
• 利用法基尔地毯构造的反例表明，$u_k \cdot v_k$ 的一致可积性是必要的，否则弱收敛将不成立。