[论文解读] The division map of principal bundles with groupoid structure and generalized gauge transformations

Carlo A. Rossi|ArXiv.org|Jan 15, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文将广义规范变换的概念推广至结构为群胚 $Γ$ 的主丛，将此前仅用于普通主 $G$-丛的除法映射 $φ_P$ 的作用扩展至李群胚的框架。文章引入了希尔苏姆–斯坎达利斯广义规范变换群胚，证明这些变换在复合下构成一个定义良好的群胚，其态射可逆，且其同伦群具有群结构，从而为非交换与非局部平凡情形下的规范场论建立了范畴与几何基础。

ABSTRACT

Motivated by the computations done in \cite{C1}, where I introduced and discussed what I called the groupoid of generalized gauge transformations, viewed as a groupoid over the objects of the category $\mathsf{Bun}_{G,M}$ of principal $G$-bundles over a given manifold $M$, I develop in this paper the same ideas for the more general case of {\em principal $\calG$-bundles or principal bundles with structure groupoid $\calG$}, where now $\calG$ is a Lie groupoid in the sense of \cite{Moer2}. Most of the concepts introduced in \cite{C1} can be translated almost verbatim in the framework of principal bundles with structure groupoid $\calG$; in particular, the key r�le for the construction of generalized gauge transformations is again played by (the equivalent in the framework of principal bundles with groupoid structure of) the division map $f_P$. Of great importance are also the generalized conjugation in a groupoid and the concept of (twisted) equivariant maps between groupoid-spaces.

研究动机与目标

• 将广义规范变换理论从主 $G$-丛推广至结构为群胚 $\mathcal{G}$ 的主丛，其中 $\mathcal{G}$ 为李群胚。
• 推广除法映射 $\phi_P$ 的作用，以刻画主 $\mathcal{G}$-丛纤维上自由且忠实群胚作用的结构。
• 定义并研究希尔苏姆–斯坎达利斯广义规范变换群胚，确立其结构，并证明其在丛同构下保持不变。
• 证明希尔苏姆–斯坎达利斯态射之间的广义规范变换空间可通过定义良好的乘积 $\star$ 赋予群胚结构，且该乘积与 $\mathcal{G}$-不变性相容。
• 证明该广义规范群胚的同伦群与从丛到 $\mathcal{H}$ 的 $\mathcal{H}$-不变光滑映射空间同构，从而在特例下恢复经典规范群。

提出的方法

• 本文将结构为群胚 $\mathcal{G}$ 的主丛定义为光滑的满射子merssion $\pi: P \to M$，并配备每个纤维上自由且忠实的 $\mathcal{G}$-作用，从而推广主 $G$-丛的概念。
• 引入除法映射 $\phi_P: P \times_M P \to \mathcal{G}$，其编码群胚作用，并推广经典 $G$-丛中的除法映射。
• 将广义规范变换构造为从纤维积 $P_1 \odot P_2$ 到群胚 $\mathcal{H}$ 的 $\mathcal{G}$-不变且 $\mathcal{H}$-等变映射，使用由 $ (K_{23} \star K_{12})(p_1,p_3) = K_{23}(p_2,p_3)K_{12}(p_1,p_2) $ 定义的乘积 $\star$。
• 证明乘积 $\star$ 满足结合律，且与中间点 $p_2$ 的选择无关，从而确保广义规范变换群胚中复合运算的良定义性。
• 证明任一广义规范变换的逆由 $\mathcal{H}$ 中除法映射的逆给出，从而保证可逆性与群胚结构。
• 定义群胚 $C^{\infty,\mathcal{H}^2}_{\mathcal{G}}$，其对象为希尔苏姆–斯坎达利斯态射，其态射为纤维积上的 $\mathcal{G}$-不变 $\mathcal{H}$-值映射，证明其与范畴 $\mathsf{HS}_{\mathcal{G},\mathcal{H}}$ 同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义规范变换的概念如何从主 $G$-丛推广至结构为李群胚 $\mathcal{G}$ 的主丛？
• RQ2 除法映射 $\phi_P$ 在刻画主 $\mathcal{G}$-丛结构及构造广义规范变换中的作用是什么？
• RQ3 希尔苏姆–斯坎达利斯态射之间的广义规范变换空间能否在复合下赋予定义良好的群胚结构？
• RQ4 乘积 $\star$ 的 $\mathcal{G}$-不变性如何确保在纤维积中不同中间点选择下的一致性？
• RQ5 广义规范群胚的同伦群与从丛到 $\mathcal{H}$ 的 $\mathcal{H}$-不变光滑映射空间之间存在何种关系？

主要发现

• 希尔苏姆–斯坎达利斯广义规范变换群胚是良定义的，其态射在乘积 $\star$ 下封闭，且该乘积满足结合律，与中间点选择无关。
• 两个广义规范变换的乘积 $\star$ 是 $\mathcal{G}$-不变的，确保复合运算在希尔苏姆–斯坎达利斯态射范畴中下降为一个态射。
• 任一广义规范变换均为可逆，其逆由 $\mathcal{H}$ 中除法映射的逆给出，从而保证群胚结构。
• 广义规范群胚中任意对象 $P$ 处的同伦群同构于空间 $C^{\infty}_{\mathcal{G}}(P,\mathcal{H})^{\mathcal{H}}$，即 $P$ 的希尔苏姆–斯坎达利斯规范群。
• $C^{\infty,\mathcal{H}^2}_{\mathcal{G}}$ 群胚与范畴 $\mathsf{HS}_{\mathcal{G},\mathcal{H}}$ 同构，证实所有态射均可逆，且该结构为真正的群胚。
• 该构造将经典规范群与变换理论推广至李群胚作用下的非交换与非局部平凡情形，为广义规范场论提供了范畴框架。