[论文解读] The DMM bound: multivariate (aggregate) separation bounds

Ioannis Z. Emiris, Bernard Mourrain+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用 19

一句话总结

本文提出了DMM界，一种针对多项式系统孤立根的新型多变量聚合分离界，利用混合体积和稀疏结式高度，使Canny的间隙定理改进了$\mathcal{O}(d^{n-1})$倍。该研究首次为$\mathbb{R}^2$中的Milne细分算法提供了复杂度界，并在特征值计算和单纯形上正多项式的最小值问题上获得了更紧的界。

ABSTRACT

In this paper we derive aggregate separation bounds, named after Davenport-Mahler-Mignotte (\dmm), on the isolated roots of polynomial systems, specifically on the minimum distance between any two such roots. The bounds exploit the structure of the system and the height of the sparse (or toric) resultant by means of mixed volume, as well as recent advances on aggregate root bounds for univariate polynomials, and are applicable to arbitrary positive dimensional systems. We improve upon Canny's gap theorem \cite{c-crmp-87} by a factor of $\OO(d^{n-1})$, where $d$ bounds the degree of the polynomials, and $n$ is the number of variables. One application is to the bitsize of the eigenvalues and eigenvectors of an integer matrix, which also yields a new proof that the problem is polynomial. We also compare against recent lower bounds on the absolute value of the root coordinates by Brownawell and Yap \cite{by-issac-2009}, obtained under the hypothesis there is a 0-dimensional projection. Our bounds are in general comparable, but exploit sparseness; they are also tighter when bounding the value of a positive polynomial over the simplex. For this problem, we also improve upon the bounds in \cite{bsr-arxix-2009,jp-arxiv-2009}. Our analysis provides a precise asymptotic upper bound on the number of steps that subdivision-based algorithms perform in order to isolate all real roots of a polynomial system. This leads to the first complexity bound of Milne's algorithm \cite{Miln92} in 2D.

研究动机与目标

• 推导多变量多项式系统孤立根（包括正维情形）的聚合分离界。
• 通过利用混合体积和结式高度来挖掘稀疏性，改进Canny的间隙定理。
• 相较于先前工作，为单纯形上正多项式的最小值提供更紧的界。
• 利用实根计数方法，首次为$\mathbb{R}^2$中Milne细分算法建立复杂度界。
• 为整数矩阵特征值/特征向量计算提供多项式位复杂度的新证明。

提出的方法

• 通过稀疏结式及其高度，结合混合体积，利用多项式系统中的稀疏性，推导出DMM界。
• 通过结式和多项式余数序列，将单变量DMM界推广至多变量系统。
• 采用迭代结式消去变量，得到以体积参数$u$为变量的单变量多项式，从而实现根的隔离。
• 算法使用Sturm序列和盒子顶点上的符号变化计数，实现对域内实根的隔离。
• 复杂度分析基于结式和多变量多项式求值的位大小界，精确追踪算术复杂度和位复杂度。
• 该方法应用于特征值问题和正多项式最小化问题，通过导数对临界点的界进行控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过利用稀疏性和混合体积，改进多变量多项式系统的聚合分离界？
• RQ2 与Canny的间隙定理和Brownawell–Yap界相比，新的DMM界在紧致性和适用性方面如何？
• RQ3 DMM界能否推广至根非孤立的正维系统？
• RQ4 Milne细分算法在$\mathbb{R}^2$中的复杂度是多少？能否利用新的分离界进行界定？
• RQ5 DMM界能否为整数矩阵特征值问题的多项式位复杂度提供新证明？

主要发现

• 对于$ n $个变量、次数为$ d $的多项式系统，DMM界使Canny的间隙定理改进了$\mathcal{O}(d^{n-1})$倍。
• 当$ n $较小时，该界与最优界仅相差$\mathcal{O}(2^n)$，且在使用混合体积表示时，比[5]更紧。
• 对于单纯形上正多项式的最小值，当总次数超过变量数时，DMM界优于[2]、[5]和[16]。
• 首次建立了Milne算法在$\mathbb{R}^2$中的复杂度界，运行时间为$\widetilde{\mathcal{O}}_B(d^{27}\tau + d^{26}\tau^2)$。
• DMM界为整数矩阵特征值/特征向量计算的多项式位复杂度提供了新证明。
• 在数值比较中，DMM界显著降低了位大小估计值——例如，当$ d=32 $、$ \tau=85 $时，仅需324,506位，而[2]需16亿位。