[论文解读] The domatic number of regular and almost regular graphs

Raphael Yuster|ArXiv.org|Nov 24, 2001

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 12

一句话总结

该论文在k-正则图及几乎k-正则图的支配数上建立了下界 (1+o_k(1))k/(2ln k)，证明此类图始终存在与k/log k成线性关系的不相交支配集族。通过在半随机方法中迭代应用Lovász局部引理，作者表明k/log k的数量级是紧确的，无法进一步改进，从而解决了关于正则图支配数渐近行为的一个猜想。

ABSTRACT

The domatic number of a graph $G$, denoted $dom(G)$, is the maximum possible cardinality of a family of disjoint sets of vertices of $G$, each set being a dominating set of $G$. It is well known that every graph without isolated vertices has $dom(G) \geq 2$. For every $k$, it is known that there are graphs with minimum degree at least $k$ and with $dom(G)=2$. In this paper we prove that this is not the case if $G$ is $k$-regular or {\em almost} $k$-regular (by ``almost'' we mean that the minimum degree is $k$ and the maximum degree is at most $Ck$ for some fixed real number $C \geq 1$). In this case we prove that $dom(G) \geq (1+o_k(1))k/(2\ln k)$. We also prove that the order of magnitude $k/\ln k$ cannot be improved. One cannot replace the constant 2 with a constant smaller than 1. The proof uses the so called {\em semi-random method} which means that combinatorial objects are generated via repeated applications of the probabilistic method; in our case iterative applications of the Lovász Local Lemma.

研究动机与目标

• 确定(k,C)-正则图的最小可能支配数f(k,C)，其中最小度为k，最大度至多为Ck。
• 弥合已知下界与正则图及几乎正则图支配数渐近行为猜想之间的差距。
• 证明支配数的数量级k/log k是紧确的，无法在这些图上进一步改进。
• 通过高级概率方法证明下界中的常数2无法被更小的常数替代。

提出的方法

• 使用半随机方法，通过迭代应用Lovász局部引理，构造出包含大量不相交支配集的染色方案。
• 应用Lovász局部引理的对称版本，以控制某顶点未能支配某一颜色类这一事件之间的依赖关系。
• 采用随机图模型G(n,p)，其中边概率为p = (1+ε/8)/k^{r-1}，以分析典型度数与支配性质。
• 使用集中不等式（Chernoff型界）表明随机图中的度数在其期望值附近高度集中。
• 应用马尔可夫不等式，以界定具有边数多于顶点数的小子图的期望数量，从而确保此类子图几乎必然不存在。
• 将概率构造与图的结构性质相结合，证明存在大族不相交支配集的概率为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最小度为k、最大度至多为Ck的(k,C)-正则图，其最小可能支配数f(k,C)是多少？
• RQ2 k-正则图支配数的数量级k/log k是否可改进，或其本身已是紧确的？
• RQ3 下界(1+o_k(1))k/(2ln k)中的常数2是否最优，或可进一步减小？
• RQ4 几乎k-正则图的支配数是否如猜想所示，随k/log k增长？
• RQ5 结合迭代应用Lovász局部引理的半随机方法，是否能优于标准概率方法获得更优界？

主要发现

• 任意(k,C)-正则图的支配数满足f(k,C) ≥ (1+o_k(1))k/(2ln k)，建立了非平凡下界。
• 上界f(k,C) ≤ (1+o_k(1))k/ln k 表明k/log k的数量级是紧确的，无法进一步改进。
• 下界中的常数2无法被任何更小常数替代，这一点通过在常数低于3时朴素局部引理应用的失败得到验证。
• 匹配的上下界支持猜想f(k,C) = (1+o_k(1))k/ln k，表明其渐近正确。
• 以高概率，边概率为p = (1+ε/8)/k^{r-1}的随机图G(n,p)具有最小度至少为k+1、最大度至多为Ck，满足(k,C)-正则性条件。
• 不存在边数多于顶点数的小子图，确保长度≤g的环是顶点不相交的，从而支持支配性论证。