[论文解读] The domino problem on groups of polynomial growth

Alexis Ballier, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2013

semigroups and automata theory参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文证明了：对于有限生成的拟幂零群，若且唯若该群拟自由，其多米诺问题才是可判定的。作者通过证明：非拟自由但具有非平凡、有限生成、无挠中心的群包含一个厚端（thick end），从而可构造出一个半网格结构，实现从 ℤ² 上不可判定的多米诺问题的约化，进而证明此类群的多米诺问题是不可判定的。

ABSTRACT

We characterize the virtually nilpotent finitely generated groups (or, equivalently by Gromov's theorem, groups of polynomial growth) for which the Domino Problem is decidable: These are the virtually free groups, i.e. finite groups, and those having $\Z$ as a subgroup of finite index.

研究动机与目标

• 通过证明其在拟幂零群类中成立，解决关于有限生成群的多米诺问题可判定当且仅当其为拟自由群的猜想。
• 将结果推广至其中心包含非平凡、有限生成、无挠子群的任意有限生成群。
• 通过在这些群的凯莱图中构造类似网格的结构，证明此类非拟自由群的多米诺问题是不可判定的。
• 提供从该类群上多米诺问题到 ℤ² 上不可判定多米诺问题的约化，从而确立其不可判定性。
• 证明在有限生成拟幂零群类中，多米诺问题的可判定性恰好刻画了拟自由群。

提出的方法

• 利用 Woess 的结果，证明任意有限生成且非拟自由的群均具有厚端。
• 应用 Halin 定理的推广，将类似 ℕ×ℤ 的半网格结构嵌入具有非平凡、有限生成、无挠中心的群的凯莱图中。
• 通过尊重局部约束的递归标记过程，在群上构造一种配置，以模拟 ℤ² 上的平铺。
• 利用该类网格结构，将群上的多米诺问题约化为 ℤ² 上的不可判定多米诺问题。
• 利用多米诺问题在有限指数子群下不变的性质，将不可判定性从子群传递至整个群。
• 应用关于一阶逻辑与 MSO 理论的已知结果，将拟幂零情形下多米诺问题的可判定性与拟自由性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限生成的拟幂零群，多米诺问题在何时是可判定的？
• RQ2 若一个群的中心包含非平凡、有限生成、无挠子群，且该群非拟自由，则其多米诺问题是否不可判定？
• RQ3 能否将 ℤ² 上多米诺问题的不可判定性约化到具有特定结构属性的其他群上？
• RQ4 群的凯莱图中厚端结构在多大程度上可用于模拟网格并引发不可判定性？
• RQ5 如原始猜想所述，该等价关系是否对所有有限生成群均成立？

主要发现

• 有限生成的拟幂零群上，多米诺问题可判定当且仅当该群为拟自由群。
• 对于任意有限生成群，若其中心包含非平凡、有限生成、无挠子群，则其多米诺问题可判定当且仅当该群为拟自由群。
• 非拟自由但具有此类中心的群包含一个厚端，从而可在其凯莱图中构造出半网格结构。
• 该半网格结构的存在使得可将群上的多米诺问题约化为 ℤ² 上的不可判定多米诺问题。
• ℤ² 上多米诺问题的不可判定性意味着所有此类非拟自由群的多米诺问题亦为不可判定。
• 该结果验证了原文中关于有限生成拟幂零群类的猜想，并将其推广至中心具有特定结构的更广群类。