[论文解读] The Donaldson-Thomas partition function of the banana manifold

Jim Bryan|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 41被引用 7

一句话总结

该论文计算了香蕉流形（一种以阿贝尔曲面为纤维的紧致卡拉比-丘三fold，其曲线上具有“香蕉”构型）的唐纳森-托马斯分区函数，限制在纤维曲面类的3维格点上。通过等变技巧和C²上希尔伯特概形的几何，推导出一个包含theta函数比值系数的闭合乘积公式，并通过斯科鲁帕-毛亚斯提升，证明了相应的格罗莫夫-威滕势能是亏格2的西格尔模形式。

ABSTRACT

A banana manifold is a compact Calabi-Yau threefold, fibered by Abelian surfaces, whose singular fibers have a singular locus given by a "banana configuration of curves". A basic example is given by $X_{ban}$, the blowup along the diagonal of the fibered product of a generic rational elliptic surface $S o \mathbb{P}^{1}$ with itself. In this paper we give a closed formula for the Donaldson-Thomas partition function of the banana manifold $X_{ban }$ restricted to the 3-dimensional lattice $Γ$ of curve classes supported in the fibers of $X_{ban} o \mathbb{P}^{1}$. It is given by \[ Z_Γ(X_{ban}) = \prod_{d_{1},d_{2},d_{3}\geq 0} \prod_{k} \left(1-p^{k}Q_{1}^{d_{1}}Q_{2}^{d_{2}}Q_{3}^{d_{3}} ight)^{-12c(||\mathbf{d} ||,k)} \] where $||\mathbf{d} || = 2d_{1}d_{2}+ 2d_{2}d_{3}+ 2d_{3}d_{1}-d_{1}^{2}-d_{2}^{2}-d_{3}^{2}$, and the coefficients $c(a,k)$ have a generating function given by an explicit ratio of theta functions. This formula has interesting properties and is closely realated to the equivariant elliptic genera of $\operatorname{Hilb} (\mathbb{C}^{2})$. In an appendix with S. Pietromonaco, it is shown that the corresponding genus $g$ Gromov-Witten potential $F_{g}$ is a genus 2 Siegel modular form of weight $2g-2$ for $g\geq 2$; namely it is the Skoruppa-Maass lift of a multiple of an Eisenstein series: $\frac{6|B_{2g}|}{g(2g-2)!} E_{2g}(τ)$.

研究动机与目标

• 计算香蕉流形在纤维曲面类限制下的唐纳森-托马斯分区函数。
• 推导出包含theta函数比值系数的分区函数的闭式乘积公式。
• 建立分区函数与Hilb(C²)的等变椭圆亏格之间的联系。
• 证明亏格g的格罗莫夫-威滕势能是通过斯科鲁帕-毛亚斯提升得到的西格尔模形式，权重为2g−2。
• 计算显式的格罗莫夫-威滕-梵德拉不变量，并验证其模形式结构。

提出的方法

• 将唐纳森-托马斯分区函数限制在纤维化Xban → P¹中曲面类支撑的3维格点Γ上。
• 利用GW/DT对应关系，将DT分区函数与格罗莫夫-威滕势能联系起来。
• 应用斯科鲁帕-毛亚斯提升，证明亏格g的格罗莫夫-威滕势能Fg是权重为2g−2的西格尔模形式。
• 将分区函数表达为对所有d₁,d₂,d₃ ≥ 0和整数k的乘积：ZΓ(Xban) = ∏(1 − pᵏQ₁^{d₁}Q₂^{d₂}Q₃^{d₃})^{−12c(||d||,k)}，其中||d|| = 2d₁d₂ + 2d₂d₃ + 2d₃d₁ − d₁² − d₂² − d₃²。
• 推导出系数c(a,k)的生成函数，其为theta函数之比。
• 利用Hilb(C²)的λ展开式，并通过GW/DT对应关系将其与格罗莫夫-威滕-梵德拉不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 香蕉流形在纤维曲面类限制下的唐纳森-托马斯分区函数的闭式表达式是什么？
• RQ2 分区函数中的系数c(a,k)如何与模形式及Hilb(C²)的椭圆亏格相关联？
• RQ3 香蕉流形的亏格g格罗莫夫-威滕势能是否为西格尔模形式？若是，具体是哪些？
• RQ4 香蕉流形的格罗莫夫-威滕-梵德拉不变量的结构如何？其是否表现出模形式或算术规律？
• RQ5 斯科鲁帕-毛亚斯提升是否可用于从DT分区函数恢复格罗莫夫-威滕势能？

主要发现

• 香蕉流形的唐纳森-托马斯分区函数由乘积公式给出：ZΓ(Xban) = ∏(1 − pᵏQ₁^{d₁}Q₂^{d₂}Q₃^{d₃})^{−12c(||d||,k)}，其中d₁,d₂,d₃ ≥ 0且k ∈ ℤ。
• 系数c(a,k)的生成函数为theta函数之比，将分区函数与Hilb(C²)的等变椭圆亏格联系起来。
• 亏格g的格罗莫夫-威滕势能Fg是权重为2g−2的西格尔模形式（g ≥ 2），具体为Eisenstein级数E₂g的斯科鲁帕-毛亚斯提升。
• Eisenstein级数的系数为a_g = 6|B₂g| / (g(2g−2)!），其中B₂g为伯努利数。
• 格罗莫夫-威滕-梵德拉不变量nₐ^g(Xban)可被12整除，且归一化不变量(1/12)nₐ^g在小的g和a ≡ 0或−1 mod 4时已列出表格。
• 当g > 1时，完整的格罗莫夫-威滕势能Fg由常数项（与欧拉示性数相关）和涉及多对数函数及系数c₂g−2(4nm − l²)的级数之和构成。