[论文解读] The Donaldson-Thomas theory of $K3 imes E$ via the topological vertex

Jim Bryan|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过结合 motivic 与 toric 方法及拓扑顶点，计算了 $K3 \times E$ 在自交数为 $-2$ 和 $0$ 的本原曲线类上的 Donaldson-Thomas 分区函数。结果证实了 Oberdieck-Pandharipande 猜想，即分区函数分别为 $F^{-2}\Delta^{-1}$ 与 $-24\wp\Delta^{-1}$，且为亚纯 Jacobi 形式，提供了该猜想在这些情形下的强有力证据。

ABSTRACT

Oberdieck and Pandharipande conjectured that the curve counting invariants of $S imes E$, the product of a $K3$ surface and an elliptic curve, is given by minus the reciprocal of the Igusa cusp form of weight 10. For a fixed primitive curve class in $S$ of square $2h-2$, their conjecture predicts that the corresponding partition functions are given by meromorphic Jacobi forms of weight $-10$ and index $h-1$. We calculate the partition functions for primitive classes of square -2 and of square 0. Our computation uses reduced Donaldson-Thomas invariants which are defined as the Behrend function weighted Euler characteristics of the quotient of the Hilbert scheme of curves in $S imes E$ by the action of $E$. Our technique is a mixture of motivic and toric methods (developed with Martijn Kool) which allows us to express the partition functions in terms of the topological vertex and subsequently in terms of Jacobi forms. We compute the partition functions for both Behrend function weighted Euler characteristics and for unweighted Euler characteristics. The results for the Behrend function weighted case depends on Conjecture 18 from https://arxiv.org/abs/1608.07369

研究动机与目标

• 计算 $K3 \times E$ 在自交数为 $-2$ 和 $0$ 的本原曲线类上的 Donaldson-Thomas 分区函数，为 Oberdieck-Pandharipande 猜想提供证据。
• 开发并应用一种结合 motivic 与 toric 技术及拓扑顶点的计算框架，以计算 Calabi-Yau 三fold 的不变量。
• 验证所得分区函数与猜想中权重为 $-10$、指标为 $h-1$ 的亚纯 Jacobi 形式一致。
• 通过商 Hilbert 模式建立约化 Donaldson-Thomas 不变量与稳定对不变量之间的联系。
• 在加权情形下假设 [5] 中的猜想 18，研究 Behrend 函数在局部单项式 Cohen-Macaulay 子概形上的行为。

提出的方法

• 计算基于约化 Donaldson-Thomas 不变量，定义为 $K3 \times E$ 中曲线 Hilbert 模式在椭圆曲线 $E$ 作用下的商的 Behrend 函数加权与非加权 Euler 示性数。
• 将 Hilbert 模式按曲线的几何支撑进行分层，并分析 $E$ 与 $\mathbb{C}^*$-作用下的不动点，将问题约化为单项式理想。
• 应用拓扑顶点来计数这些单项式理想，从而以闭式表达分区函数。
• 该方法依赖于拓扑顶点的新恒等式及奇点的正式局部结构，以处理具有受控奇点的曲线支撑。
• 对于 Behrend 函数加权不变量，计算假设了 [5] 中的猜想 18，该猜想控制了 Behrend 函数在单项式理想上的行为。
• 该框架被扩展以包含 Hilbert 模式中的竖直与对角曲线分量，尤其针对 $h=1$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自交数为 $-2$ 和 $0$ 的本原曲线类中，$K3 \times E$ 的约化 Donaldson-Thomas 不变量是否与 Oberdieck-Pandharipande 猜想的预测一致？
• RQ2 拓扑顶点能否通过分层与不动点约化策略，有效用于计算 $K3 \times E$ 的分区函数？
• RQ3 当 $K3$ 曲面具有自交数为 $-2$ 的本原曲线类时，$K3 \times E$ 的分区函数的确切形式为何？
• RQ4 在此背景下，商 Hilbert 模式的 Behrend 函数加权 Euler 示性数与稳定对不变量之间有何关系？
• RQ5 非 toric 奇点（如尖点）的贡献能否系统地纳入拓扑顶点框架？

主要发现

• 在 $K3 \times E$ 上，自交数为 $-2$ 的本原曲线类的分区函数计算为 $F^{-2}\Delta^{-1}$，其中 $F$ 为 Jacobi theta 函数，$\Delta$ 为判别模形式。
• 对于自交数为 $0$ 的本原曲线类，分区函数为 $-24\wp\Delta^{-1}$，其中 $\wp$ 为 Weierstrass $\wp$-函数。
• 结果与 Oberdieck-Pandharipande 猜想的预测一致，证实分区函数为 $-1/\chi_{10}$，即 Igusa 哥德尔形式（权重 10）的倒数。
• 当 $h=0$ 时，商 Hilbert 模式的非加权 Euler 示性数为 $-\widehat{\mathsf{DT}}_0(X)$；当 $h=1$ 时，为 $-\widehat{\mathsf{DT}}_{1,\text{vert}}(X) + \widehat{\mathsf{DT}}_{1,\text{diag}}(X)$。
• Behrend 函数加权不变量的计算依赖于 [5] 中的猜想 18，该猜想控制了局部单项式 Cohen-Macaulay 子概形上 Behrend 函数的行为。
• 该方法成功地将问题约化为通过拓扑顶点计数单项式理想，展示了 toric 与 motivic 技术在高亏格曲线计数中的强大能力。