[论文解读] The Double Eulerian Polynomial and Inversion Tables

Erik Aas|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过建立一个双变量生成函数恒等式，证明了Visontai的猜想：双Eulerian多项式（按下降和逆下降统计量枚举排列）与基于上升和行统计量的排列表生成函数相等。关键结果是通过带标签的有根树构造了一个双射证明，建立了不同组合对象上这两组统计量之间的直接组合等价性。

ABSTRACT

We show that the pair (des, ides) of statistics on the set of permu- tations has the same distribution as the pair (asc, row) of statistics on the set of inversion tables, proving a conjecture of Visontai. The common generating function of these pairs is the double Eulerian polynomial.

研究动机与目标

• 证明双Eulerian多项式（定义为按下降和逆下降统计量枚举排列的生成函数）等于按上升和行统计量枚举排列表的生成函数。
• 解决Visontai关于这两个生成函数等分布性的猜想。
• 通过基于Möbius反演和对排列与排列表上统计量的归纳构造，提供一个使用有根带标签树的双射证明。
• 在排列统计量与排列表统计量之间建立更深层次的组合联系，扩展经典Eulerian多项式理论。

提出的方法

• 将双Eulerian多项式定义为 $ A_n(u,v) = \sum_{\pi \in \mathbb{S}_n} u^{\operatorname{des}(\pi)} v^{\operatorname{des}(\pi^{-1})} $，推广经典Eulerian多项式。
• 引入排列表 $ e \in \mathbb{I}_n $，即满足 $ 1 \leq e_i \leq i $ 的序列，并定义两个统计量：$ \operatorname{asc}(e) $ 为上升数，$ \operatorname{row}(e) $ 为集合 $ \{e_i : 1 \leq i \leq n\} \setminus \{1\} $ 的大小。
• 构造两个有根带标签树 $ T_{\mathbb{S}} $ 和 $ T_{\mathbb{I}} $，其中节点为长度不属于固定子集 $ S \subseteq \mathbb{N} $ 的排列和排列表，边由将序列扩展一个长度为 $ s $ 的块定义，其中 $ s $ 是满足 $ r+s \notin S $ 的最小值。
• 使用Möbius反演将等分布性断言约化为证明 $ T_{\mathbb{S}} $ 与 $ T_{\mathbb{I}} $ 同构，即对每个 $ S $，满足 $ S \subseteq \operatorname{DES}(\pi) $ 的排列数与满足 $ S \subseteq \operatorname{ASC}(e) $ 的排列表数在逆下降和行统计量下等分布。
• 通过归纳地将排列映射到排列表，建立树之间的双射 $ \Phi $，保持长度和各自统计量，使用非负整数元组 $ (x_0, \dots, x_r) $ 参数化，编码后半部分中落在前半部分连续值之间的元素数量。
• 证明：产生给定逆下降数的此类元组的数量等于大小为 $ s $ 的子集 $ T \subseteq [r+s] $ 中满足 $ T^c \cap \operatorname{ROW}(e') $ 有给定元素数的子集数量，利用已知的组合恒等式确认计数相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 双Eulerian多项式 $ A_n(u,v) $（按下降和逆下降统计量计数排列）是否在使用上升和行统计量的排列表上存在等分布的对应生成函数？
• RQ2 Visontai的猜想（即 $ A_n(u,v) = \sum_{e \in \mathbb{I}_n} u^{\operatorname{asc}(e)} v^{\operatorname{row}(e)} $）能否通过组合方法证明？
• RQ3 是否存在排列与排列表之间的双射对应，使得下降和逆下降的联合分布与上升和行统计量的联合分布保持一致？
• RQ4 这种等分布性能否推广到其他统计量（如maj或下降位置之和）？
• RQ5 是否存在独立于排列侧的、关于排列表上 $ \operatorname{asc} $ 和 $ \operatorname{row} $ 的直接组合证明？

主要发现

• 双Eulerian多项式 $ A_n(u,v) $ 被证明等于生成函数 $ \sum_{e \in \mathbb{I}_n} u^{\operatorname{asc}(e)} v^{\operatorname{row}(e)} $，从而确认了Visontai的猜想。
• 该证明建立了基于排列的有根树与基于排列表的有根树之间的树同构，分别保持统计量 $ \operatorname{des} $ 和 $ \operatorname{ides} $ 与 $ \operatorname{asc} $ 和 $ \operatorname{row} $。
• 对所有 $ S \subseteq [n-1] $，具有给定下降集 $ S $ 和 $ k $ 个逆下降的排列数，等于具有 $ S \subseteq \operatorname{ASC}(e) $ 和 $ \operatorname{row}(e) = k $ 的排列表数，该结论通过Möbius反演得出。
• 该证明表明，排列上的对 $ (\operatorname{maj}, \operatorname{ides}) $ 与排列表上的对 $ (\operatorname{amaj}, \operatorname{row}) $ 等分布，其中 $ \operatorname{maj} $ 是下降位置之和，$ \operatorname{amaj} $ 是上升位置之和。
• 主结果蕴含了排列表上 $ \operatorname{asc} $ 和 $ \operatorname{row} $ 的等分布性，尽管尚无已知的直接组合证明。
• 证明中使用的双射在 $ u $ 和 $ v $ 上不对称，尽管最终恒等式具有对称性，表明底层组合结构中存在更深层次的不对称性。