[论文解读] The double of a Hopf monad

Alain Bruguières, Alexis Virelizier|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文引入了在自治范畴上霍普夫单子的'双'结构，将翟辛-杜林双构造推广至非辫状设定。它证明了霍普夫单子模范畴的中心与该双结构的模范畴等价，从而以原始单子的结构明确描述了中心的余端，特别适用于量子拓扑和模张量范畴。

ABSTRACT

The center Z(C) of an autonomous category C is monadic over C (if certain coends exist in C). The notion of Hopf monad naturally arises if one tries to reconstruct the structure of Z(C) in terms of its monad Z: we show that Z is a quasitriangular Hopf monad on C and Z(C) is isomorphic to the braided category Z-C of Z-modules. More generally, let T be a Hopf monad on an autonomous category C. We construct a Hopf monad Z_T on C, the centralizer of T, and a canonical distributive law of T over Z_T. By Beck's theory, this has two consequences. On one hand, D_T=Z_T T is a quasitriangular Hopf monad on C, called the double of T, and Z(T-C)= D_T-C as braided categories. As an illustration, we define the double D(A) of a Hopf algebra A in a braided autonomous category in such a way that the center of the category of A-modules is the braided category of D(A)-modules (generalizing the Drinfeld double). On the other hand, the canonical distributive law also lifts Z_T to a Hopf monad on T-C which gives the coend of T-C. Hence, for T=Z, an explicit description of the Hopf algebra structure of the coend of Z(C) in terms of the structural morphisms of C, which is useful in quantum topology.

研究动机与目标

• 将翟辛-杜林双构造推广至自治范畴上的任意霍普夫单子。
• 以原始范畴 $ \mathcal{C} $ 及其霍普夫单子结构显式描述中心范畴 $ \mathcal{Z}(C) $ 的余端。
• 建立霍普夫单子双结构模范畴与模范畴中心之间的辫状等价。
• 将贝克的分配律理论推广至霍普夫单子，实现具有相容结构的单子的提升与复合。
• 将该框架应用于辫状范畴中的霍普夫代数，作为特例恢复标准的翟辛-杜林双构造。

提出的方法

• 将自治范畴 $ \mathcal{C} $ 上霍普夫单子 $ T $ 的中心化子 $ Z_T $ 定义为余端 $ \int^{Y} {}^\vee T(Y) \otimes X \otimes Y $，其继承霍普夫单子结构。
• 利用伴随关系与霍普夫单子的正合性性质，构造一个典范分配律 $ \Omega: TZ_T \to Z_T T $，编码 $ T $ 与 $ Z_T $ 之间的相容性。
• 运用贝克的分配律理论，将 $ Z_T $ 提升至 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 上的霍普夫单子 $ \tilde{Z}_T^\Omega $，并证明 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 的余端为 $ Z_T(\mathbb{1}) $，其结构态射由 $ \Omega $ 导出。
• 利用分配律 $ \Omega $ 定义复合单子 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $，其具有准三角霍普夫单子结构。
• 证明 $ D_T\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ 作为辫状范畴，确立核心结果。
• 将该构造应用于辫状自治范畴中的霍普夫代数，证明霍普夫代数 $ A $ 的双结构 $ D(A) $ 满足 $ D(A)\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(A\mbox{-}\mathcal{C}) $，从而恢复翟辛-杜林双构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将翟辛-杜林双构造从霍普夫代数推广至自治范畴上的任意霍普夫单子？
• RQ2 中心范畴 $ \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ 的余端结构是什么？如何以原始单子 $ T $ 的结构显式描述？
• RQ3 $ T $ 与其中心化子 $ Z_T $ 之间的典范分配律 $ \Omega $ 是否可用于将 $ Z_T $ 提升至 $ T $-模范畴并构造其中的霍普夫单子？
• RQ4 双结构 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ 与 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 的中心有何关系？它携带何种辫状结构？
• RQ5 $ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ 的余端在计算雷舍蒂欣-图雷夫不变量中起什么作用？如何通过代数方法计算？

主要发现

• 双结构 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ 是 $ \mathcal{C} $ 上的准三角霍普夫单子，且存在辫状等价 $ D_T\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $。
• $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 的余端作为对象同构于 $ Z_T(\mathbb{1}) $，其代数结构由 $ Z_T(T_0) \circ \Omega_{\mathbb{1}} $ 给出。
• 当 $ T = Z $ 时，即 $ \mathcal{C} $ 上的中心单子，$ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ 的余端为 $ Z_Z(\mathbb{1}) $，其霍普夫代数结构通过 $ \mathcal{C} $ 的结构态射显式描述。
• 典范分配律 $ \Omega: TZ_T \to Z_T T $ 是可逆且余幺半群的，从而实现将 $ Z_T $ 提升为 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 上的霍普夫单子。
• 当 $ \mathcal{C} $ 为球形融合范畴时，$ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ 的余端被证明是模的，通过新方法恢复了穆格（2003）的结果。
• 该框架允许在任意基环上计算雷舍蒂欣-图雷夫不变量，即使范畴的维数不可逆，也可通过霍普夫图计算余端结构。