[论文解读] The double of representations of Cohomological Hall Algebra for $A_1$-quiver

Xinli Xiao|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过稳定框架化表示，利用格拉斯曼流形的上同调，构建了 $A_1$-quiver 的上同调霍尔代数（COHA）的两种表示。结果表明，未扭的递增与未扭的递减表示组合成一个 $D_{n+1}$-李代数，而未扭的递增与扭的递减表示则生成一个有限 Clifford 代数，从而证实了全 COHA 对于 $A_1$ 同构于无限 Clifford 代数的猜想。

ABSTRACT

We compute two representations of COHA for $A_1$-quiver. The two untwisted representations can be combined into a representation of $D_{n+1}$ Lie algebra. The untwisted increasing representation and the twisted decreasing representation can be combined into a representation of a finite Clifford algebra.

研究动机与目标

• 通过稳定框架化表示，定义 $A_1$-quiver 的上同调霍尔代数（COHA）的两种几何表示。
• 将这些表示组合成一个‘双’COHA 结构，如文献 [9] 中所猜想。
• 验证组合后的算子构成一个 $D_{n+1}$-李代数与一个有限 Clifford 代数。
• 确认全 COHA 对于 $A_1$ 同构于无限 Clifford 代数的猜想。

提出的方法

• 通过 quiver 的稳定框架化表示，利用格拉斯曼流形的上同调，构建 $A_1$-COHA 的两种表示。
• 通过拉回-上推构造，在格拉斯曼流形的上同调上定义产生与湮灭算子。
• 通过左偏导数修改标准湮灭算子，引入一种扭的递减表示。
• 利用算子验证其满足 $D_{n+1}$-李代数的 Serre 关系。
• 验证未扭的递增与扭的递减算子满足有限 Clifford 代数的定义关系。
• 通过双表示确认全 COHA 结构与猜想中的无限 Clifford 代数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过格拉斯曼流形上同调，几何地构造 $A_1$-COHA 的两种表示？
• RQ2 未扭的递增与未扭的递减表示是否组合成一个 $D_{n+1}$-李代数？
• RQ3 能否定义一种递减表示的扭版本，使其与递增表示组合成一个有限 Clifford 代数？
• RQ4 这些表示的双结构是否实现了全 COHA 作为无限 Clifford 代数，如猜想所述？

主要发现

• 未扭的递增与未扭的递减表示在格拉斯曼流形上同调上生成一个 $D_{n+1}$-李代数结构。
• 通过左偏导数定义的扭递减表示，与未扭的递增表示组合，形成一个有限 Clifford 代数。
• 算子满足 $D_{n+1}$-李代数的 Serre 关系，从而确认了代数结构。
• 未扭递增与扭递减算子满足有限 Clifford 代数的反对易关系。
• 结果支持了如下猜想：$A_1$-quiver 的全 COHA 同构于由生成元 $\phi_n^\pm$ 与中心荷 $c$ 生成的无限 Clifford 代数，且满足标准反对易关系。
• 在有限维情形下，中心荷 $c$ 映射为零，从而恢复了无限 Grassmann 代数及其正交李代数表示。