[论文解读] The Drazin inverse of the linear combinations of two idempotents in the Banach algebras

Shifang Zhang, Junde Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2009

Matrix Theory and Algorithms参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文在特定代数条件（如 $PQP = 0$ 或 $PQP = P$）下，推导出巴拿赫代数中两个幂等元 $P$ 和 $Q$ 的线性组合 $aP + bQ$ 的 Drazin 逆的显式公式。通过直接代数计算，建立了 $(aP + bQ)^D$ 的封闭形式表达式，确定了 Drazin 指数，并证明了 Drazin 逆的唯一性及其在相似变换下的不变性。主要贡献在于系统地刻画了此类组合的 Drazin 可逆性及指标上界，将先前在希尔伯特空间中的结果推广至一般巴拿赫代数。

ABSTRACT

In this paper, some Drazin inverse representations of the linear combinations of two idempotents in Banach algebra are obtained.

研究动机与目标

• 推导巴拿赫代数中两个幂等元 $P$ 和 $Q$（$a, b \neq 0$）的线性组合 $aP + bQ$ 的 Drazin 逆的显式公式。
• 在 $P$ 和 $Q$ 满足特定代数条件时，确定 Drazin 指数 $\text{ind}(aP + bQ)$。
• 将先前关于希尔伯特空间中投影线性组合的 Drazin 逆结果推广至一般巴拿赫 $*$-代数。
• 提供一种直接代数方法，避免早期工作中使用的空间分解或矩阵表示技术。
• 通过反例纠正并修订先前发表的关于群逆的结果，提出修正后的定理。

提出的方法

• 通过直接验证定义条件（$A M A = A$，$A M = M A$，$A^{k+1} M = A^k$，对某个 $k$）推导 Drazin 逆 $(aP + bQ)^D$。
• 利用条件 $PQP = 0$ 简化算子乘积，导出公式 $(aP + bQ)^D = \frac{1}{a}P + \frac{1}{b}Q - \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)(PQ + QP) + \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right)QPQ$。
• 应用缩放不变性：$(aP + bQ)^D = \frac{1}{b}(\frac{a}{b}P + Q)^D$，将问题约化为 $b=1$ 的基本情形。
• 通过证明在 $PQP = 0$ 条件下 $\text{ind}(aP + bQ) \leq 1$，在 $PQP = P$ 条件下 $\text{ind}(aP + bQ) \leq 2$ 或 $\leq 3$，建立指标上界。
• 利用反例表明早期关于群逆的定理（如文献 [15] 中的结论）存在错误，并提供修正版本。
• 证明 $P+Q$ 存在群逆当且仅当 $P + QPQ = PQ + QP$，且 $P-Q$ 存在群逆当且仅当 $P = QPQ$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，巴拿赫代数中两个幂等元的线性组合 $aP + bQ$ 是 Drazin 可逆的？
• RQ2 当 $PQP = 0$ 时，$aP + bQ$ 的 Drazin 逆 $(aP + bQ)^D$ 的显式公式是什么？
• RQ3 Drazin 指数 $\text{ind}(aP + bQ)$ 如何依赖于 $P$ 和 $Q$ 之间的代数关系？
• RQ4 能否在不使用希尔伯特空间分解或矩阵表示法的情况下计算 $aP + bQ$ 的 Drazin 逆？
• RQ5 早期文献（如 [15]）中关于群逆的结果是否成立，还是需要修正？

主要发现

• 当 $PQP = 0$ 时，$aP + bQ$ 的 Drazin 逆为 $(aP + bQ)^D = \frac{1}{a}P + \frac{1}{b}Q - \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)(PQ + QP) + \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right)QPQ$，且 $\text{ind}(aP + bQ) \leq 1$。
• 在 $PQP = 0$ 条件下，Drazin 逆为零指标（即群可逆）当且仅当 $P + Q + QPQ = I + PQ + QP$。
• 当 $PQP = P$ 时，若 $a + b \neq 0$，则 Drazin 逆为 $\left(aP + bQ\right)^D = \frac{a^2}{(a+b)^3}P + \frac{1}{b}Q + \frac{ab}{(a+b)^3}(PQ + QP) + \left(\frac{b^2}{(a+b)^3} - \frac{1}{b}\right)QPQ$；若 $a + b = 0$，则为 $\frac{1}{a}Q(P - I)Q$。
• 在 $PQP = P$ 条件下，Drazin 指数满足 $\text{ind}(aP + bQ) \leq 2$（当 $a + b \neq 0$ 时）或 $\leq 3$（当 $a + b = 0$ 时）。
• $P + Q$ 存在群逆当且仅当 $P + QPQ = PQ + QP$；$P - Q$ 存在群逆当且仅当 $P = QPQ$。
• 反例表明早期关于群逆的定理（如 [15] 中的结论）存在错误，本文提供了修正后的版本。