[论文解读] The dual Minkowski problem for symmetric convex bodies

Károly J. Böröczky, Erwin Lutwak+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 32被引用 16

一句话总结

该论文针对当 $1 < q < n$ 时的原点对称凸体，完整解决了双 Minkowski 问题，证明了单位球面上的偶有限博雷尔测度 $\mu$ 是此类体的 $q$-阶双曲率测度，当且仅当其满足特定的测度集中条件——即 $q$-阶子空间质量不等式。该解法采用变分法，结合双曲质积分与熵的泛函，通过球面划分和精心构造的障碍体，对熵和双曲质积分进行了关键估计。

ABSTRACT

The dual Minkowski problem for even data asks what are the necessary and sufficient conditions on an even prescribed measure on the unit sphere for it to be the $q$-th dual curvature measure of an origin-symmetric convex body in $\mathbb{R}^n$. A full solution to this is given when $1 &lt; q &lt; n$. The necessary and sufficient condition is an explicit measure concentration condition. A variational approach is used, where the functional is the sum of a dual quermassintegral and an entropy integral. The proof requires two crucial estimates. The first is an estimate of the entropy integral proved using a spherical partition. The second is a sharp estimate of the dual quermassintegrals for a carefully chosen barrier convex body.

研究动机与目标

• 确定 $S^{n-1}$ 上偶有限博雷尔测度成为 $\mathbb{R}^n$ 中原点对称凸体的 $q$-阶双曲率测度的必要与充分条件。
• 将双 Minkowski 问题的解法拓展至此前未解决的情形，特别是 $1 < q < n$ 的情形，该问题此前仍为开放。
• 确立一个精确的测度集中条件——即 $q$-阶子空间质量不等式——作为可解性的判据。
• 发展并应用一种结合双曲质积分与熵积分的变分方法，以完整解决该问题。

提出的方法

• 采用变分法，通过最小化一个结合双曲质积分 $\widetilde{W}_{n-q}(K)$ 与熵积分 $E_\mu(K)$ 的泛函（由测度 $\mu$ 定义）来求解。
• 利用球面单位分解对熵积分进行估计，从而控制测度在集中情况下的对数行为。
• 构造一个障碍凸体 $G_l$，作为椭球、线段与球体的笛卡尔积，以控制极大化序列并控制双曲质积分的增长。
• 利用 $L_p$ 范数的单调性与齐次性对双曲质积分进行估计，利用 $q_0 > q$ 的事实，将 $L_{q_0}$ 范数与 $L_q$ 范数进行比较。
• 证明依赖反证法：假设极大化序列 $\{K_l\}$ 存在，则除非测度满足 $q$-阶子空间质量不等式，泛函将趋于 $-\infty$。
• 关键估计为：(1) 通过球面划分控制熵；(2) 通过障碍体构造实现双曲质积分的精确估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1 < q < n$ 时，$S^{n-1}$ 上偶有限博雷尔测度 $\mu$ 成为 $\mathbb{R}^n$ 中原点对称凸体的 $q$-阶双曲率测度的必要与充分条件是什么？
• RQ2 双 Minkowski 问题如何与对数 Minkowski 问题（$q=n$）以及 Aleksandrov 问题（$q=0$）在双 Brunn-Minkowski 理论中相联系？
• RQ3 结合双曲质积分与熵积分的变分方法，能否为临界范围 $1 < q < n$ 内的偶双 Minkowski 问题提供完整解法？
• RQ4 测度集中在此类双 Minkowski 问题的可解性中起何种作用？其几何不等式形式如何量化？

主要发现

• 对于原点对称凸体，当 $1 < q < n$ 时，偶数据的双 Minkowski 问题已获得完整解。
• 测度 $\mu$ 成为 $q$-阶双曲率测度的必要与充分条件是 $q$-阶子空间质量不等式，即一个精确的测度集中条件。
• 该解法通过变分法实现，其中泛函为双曲质积分与熵积分之和，且仅当测度满足子空间质量不等式时，其极大化才被有界。
• 证明依赖于两个关键估计：一是通过球面划分对熵积分的控制；二是通过含多种几何成分的障碍凸体对双曲质积分的精确估计。
• 反证法表明，任何违反子空间质量不等式的极大化序列都将导致泛函趋于 $-\infty$，从而证明该条件的必要性。
• 该结果拓展了先前工作：$0 < q \leq 1$ 的情形已在 [29] 中解决，整数情形 $q \in \{2, \dots, n-1\}$ 在 [53] 中解决，而本文完成了对所有 $1 < q < n$ 的完整求解。