[论文解读] The $ξ,ζ$-Dunford Pettis property

Ryan M. Causey|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Advanced Banach Space Theory被引用 4

一句话总结

本文通过使用由可数序数索引的弱零序列层次结构，引入了 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 性质，推广了完全连续算子和弱 Banach-Saks 算子等经典算子类。证明了对所有 $0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$，类 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 构成一个独立的闭算子理想，并建立了序数版本的展开模型刻画：一个 Banach 空间具有遗传的 $\omega^\xi,\omega^\zeta$-Dunford-Pettis 性质当且仅当每个半正规化的弱零序列都具有 $\ell_1^{\omega^\xi}$- 或 $c_0^{\omega^\zeta}$-展开模型。

ABSTRACT

Using the hierarchy of weakly null sequences introduced by Argyros, Merkourakis, and Tsarpalias, we introduce two new families of operator classes. The first family simultaneously generalizes the completely continuous operators and the weak Banach-Saks operators. The second family generalizes the class $\mathfrak{DP}$. We study the distinctness of these classes, and prove that each class is an operator ideal. We also investigate the properties possessed by each class, such as injectivity, surjectivity, and identification of the dual class. We produce a number of examples, including the higher ordinal Schreier and Baernstein spaces. We prove ordinal analogues of several known results for Banach spaces with the Dunford-Pettis, hereditary Dunford-Pettis property, and hereditary by quotients Dunford-Pettis property. For example, we prove that for any $0\leqslant ξ, ζ

研究动机与目标

• 通过使用由可数序数索引的弱零序列层次结构，推广经典 Dunford-Pettis 性质及相关算子类。
• 定义并研究算子类 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$，其包含所有满足：对所有 $\xi$-弱零序列 $ (x_n) \subset X $ 和 $\zeta$-弱零序列 $ (y_n^*) \subset Y^* $，有 $\lim_n y_n^*(A x_n) = 0 $ 的算子 $A:X\to Y$。
• 证明对所有 $0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$，$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 构成一个适当的、非内射的、非满射的、非对称的算子理想。
• 研究 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 性质的遗传版本和商版本，包括通过展开模型进行的刻画。

提出的方法

• 利用 Argyros、Merkourakis 和 Tsarpalilas [3] 提出的弱零序列的序数层次结构，为所有 $0 < \xi \leq \omega_1$ 定义 $\xi$-弱零序列，其中 $\xi$ 衡量使弱零序列变为范数零所需凸块序列的复杂度。
• 将类 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 定义为所有满足：对所有 $\xi$-弱零序列 $ (x_n) \subset X $ 和 $\zeta$-弱零序列 $ (y_n^*) \subset Y^* $，有 $\lim_n y_n^*(A x_n) = 0 $ 的算子 $A:X\to Y$ 的集合，从而推广经典类 $\mathfrak{DP}$。
• 应用 Schreier 空间和 Baernstein 空间构造方法，生成 $\textsf{M}_{\xi,\zeta}$ 中的空间示例，特别使用具有 $\xi$-弱零基的 $X_\xi$-空间。
• 利用 $\mathcal{S}_\xi$-展开模型和凸块技术，证明 Banach 空间 $X$ 具有遗传的 $\omega^\xi,\omega^\zeta$-Dunford-Pettis 性质当且仅当每个半正规化的弱零序列都具有 $\ell_1^{\omega^\xi}$- 或 $c_0^{\omega^\zeta}$-展开模型。
• 通过商空间和 $\ell_1$-直和构造方法，构建反例以证明该层次结构的严格性：对 $\xi,\zeta > 0$，存在空间 $X$ 和 $Y$，使得 $X \in \textsf{wBS}_\xi$，$Y \in \textsf{wBS}_\zeta$，但 $X \oplus_1 Y \notin \textsf{wBS}_\gamma$ 对所有 $\gamma < \xi + \zeta$ 成立，从而证明类的非平凡性。
• 应用一致弱零性原理和通过 $\mathcal{S}_\xi$-树进行的凸块选择，推导出范数估计中的矛盾，证明某些序列不能是 $\gamma$-弱零的（对 $\gamma < \xi + \zeta$）

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用序数索引的弱零性层次结构推广经典 Dunford-Pettis 性质？
• RQ2 算子类 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 的结构性质是什么？例如，它是否构成算子理想？是否具有内射性、满射性或对称性？
• RQ3 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 性质与 Banach 空间中展开模型之间存在何种关系？
• RQ4 能否通过每个半正规化弱零序列中存在 $\ell_1^{\omega^\xi}$- 或 $c_0^{\omega^\zeta}$-展开模型，来刻画 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 性质的遗传版本？
• RQ5 类 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 是否关于 $\xi$ 和 $\zeta$ 严格递增？能否通过反例加以证明？

主要发现

• 对所有 $0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$，类 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 是一个闭算子理想，且既非内射也非满射。
• 对不同的 $ (\xi, \zeta) $ 对，类 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 互不相同，从而确立了算子类的适当层次结构。
• 对任意 $0 < \xi, \zeta < \omega_1$，Banach 空间 $X$ 具有遗传的 $\omega^\xi, \omega^\zeta$-Dunford-Pettis 性质当且仅当 $X$ 中每个半正规化弱零序列都存在一个子序列，该子序列是 $\ell_1^{\omega^\xi}$-展开模型或 $c_0^{\omega^\zeta}$-展开模型。
• $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 类推广了完全连续算子和弱 Banach-Saks 算子，将二者统一于一个共同的序数框架之下。
• 本文构造了示例，表明 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 不是对称的，并提供了一个非平凡示例：$X \in \textsf{wBS}_\xi$，$Y \in \textsf{wBS}_\zeta$，但 $X \oplus_1 Y \notin \textsf{wBS}_\gamma$ 对所有 $\gamma < \xi + \zeta$ 成立，从而证明了该层次结构的严格性。
• 识别出 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 的对偶类，并证明该类在复合与有限和下封闭，从而确认其理想结构。