[论文解读] The Dynamical Degrees of a Mapping

Eric Bedford|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 18

一句话总结

本文引入并分析了复流形上有理映射的动态度作为不变量，特别关注其通过迭代次数的指数增长率来衡量动力复杂性的角色。研究证明，对于单项式映射，第p个动态度δₚ等于关联矩阵的p个最大特征值的乘积，并且证明了若最高阶动态度大于1，则其必为无理数，适用于凯勒流形的自同构。

ABSTRACT

Let f be a rational mapping of a space X . The complexity of (f,X) as a dynamical system is measured by the dynamical degrees $δ_p(f)$, $1\le p\le { m dim}(X)$. We give the definition of the dynamical degrees show how they are computed in certain cases. For instance, we show that if the dynamical degree of an automorphism of a Kähler manifold is greater than one, then it must be irrational.

研究动机与目标

• 为复代数簇上的有理映射f:X→X定义并形式化动态度δₚ(f)的概念。
• 确立动态度在双有理共轭下的不变性及其在衡量动力复杂性中的作用。
• 通过定义矩阵的外幂运算，显式计算单项式映射的动态度。
• 证明对于凯勒流形的自同构，若δ₁(f) > 1，则δ₁(f)必为无理数。
• 阐明动态度、上拉映射f*在上同调上的谱半径以及拓扑熵之间的关系。

提出的方法

• 将动态度δ(f)定义为极限limₙ→∞ deg(fⁿ)¹ᐟⁿ，该定义在共轭下保持不变。
• 利用上同调群H¹¹(X)或Pic(X)上的上拉作用f*，通过算子范数定义δ(f)。
• 对于由整数矩阵A定义的单项式映射f_A，使用A的p阶外幂⋀ᵖA计算δₚ(f_A)。
• 利用⋀ᵖA的谱性质，证明δₚ(f_A)等于A的p个最大特征值的乘积。
• 将该理论应用于凯勒流形，通过代数整数与单位根的反证法，证明δ₁ > 1时δ₁必为无理数。
• 使用双有理几何方法，如爆破，以解析奇点并定义在紧化空间上的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理映射f:X→X的动态度δ(f)是什么？它如何衡量迭代的复杂性？
• RQ2 动态度在双有理共轭下如何表现？为何其保持不变？
• RQ3 与矩阵A相关的单项式映射f_A的第p个动态度δₚ(f_A)的确切值是什么？
• RQ4 为何当凯勒流形自同构的首阶动态度δ₁(f) > 1时，其必为无理数？
• RQ5 动态度与上拉映射f*在上同调上的谱半径之间有何关系？

主要发现

• 对于C²上的多项式自同构，若δ(f) > 1，则该映射共轭于广义Hénon映射的复合，且δ(f)为整数。
• 动态度δ(f)在共轭下保持不变，且当(fⁿ)* = (f*)ⁿ时，其等于f*在H¹¹(X)上的谱半径。
• 对于单项式映射f_A，第p个动态度δₚ(f_A)等于矩阵A的p个最大特征值的乘积。
• 若凯勒流形自同构的首阶动态度δ₁(f) > 1，则δ₁(f)必为无理数。
• 拓扑熵h_top(f)被log(max δₚ(f))上界控制，当f为全纯映射时取等。
• 动态度δₚ(f)为代数整数，因其作为整数矩阵在上同调上作用的谱半径而产生。