[论文解读] The dynamical Mordell-Lang problem for etale maps

Jason P. Bell, Dragos Ghioca+1 more|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 62

一句话总结

本文证明了复数域上拟射影代数簇的étale自同态的Mordell-Lang猜想的动态版本，表明子簇与正向轨道的交集是该映射迭代下若干轨道的有限并。通过受Skolem-Mahler-Lech启发的p进分析方法与代数几何，作者证明：若无限多个轨道点位于子簇中，则它们必位于某个映射迭代的有限个周期轨道的并集中。

ABSTRACT

We prove a dynamical version of the Mordell-Lang conjecture for etale endomorphisms of quasiprojective varieties. We use p-adic methods inspired by the work of Skolem, Mahler, and Lech, combined with methods from algebraic geometry. As special cases of our result we obtain a new proof of the classical Mordell-Lang conjecture for cyclic subgroups of a semiabelian variety, and we also answer positively a question of Keeler/Rogalski/Stafford for critically dense sequences of closed points of a Noetherian integral scheme.

研究动机与目标

• 解决复数域上拟射影代数簇的étale自同态的动态Mordell-Lang猜想。
• 将经典的Mordell-Lang结果推广到动力系统设定中，将子群替换为某个态射下的轨道。
• 为半阿贝尔簇的循环子群情形下的经典Mordell-Lang猜想提供一个新的证明。
• 正面回答Keeler、Rogalski与Stafford关于诺特整概形中轨道临界密度的问题。
• 证明：使得轨道点位于子簇中的指标集合是有限个等差数列的并集。

提出的方法

• 利用p进映射θi在ℤp上的p进解析参数化轨道。
• 应用p进解析函数的零点消去原理：非零的p进解析函数在紧致区域中不能有无限多个零点。
• 运用算术几何与p进分析技术，控制轨道与子簇交集的结构。
• 通过在周期点附近进行局部线性化与自同构性质分析，将问题约化为研究迭代行为。
• 利用étale映射在切空间上诱导局部同构的性质，实现局部提升与解析控制。
• 通过自同构的下降论证表明：若轨道无限次与子簇相交，则其必包含于某个周期子簇中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在étale自同态下，正向轨道与子簇的交集是否由某个迭代映射下的有限个轨道构成？
• RQ2 能否通过动力方法重新获得半阿贝尔簇的循环子群情形下经典Mordell-Lang猜想？
• RQ3 在自同构作用下，每个Zariski稠密轨道是否在临界意义下也是稠密的，即每个无限子集均为Zariski稠密？
• RQ4 若子簇中包含无限多个轨道点，是否必然存在一个包含轨道尾部的周期子簇？
• RQ5 能否使用p进分析方法证明动力系统中轨道交集的有限性？

主要发现

• 任意子簇V与étale自同态下某点的正向轨道的交集，是某个迭代Φ^N下若干轨道的有限并。
• 该结果表明：若无限多个轨道点位于V中，则它们必位于某个迭代Φ^N下的单一周期子簇中。
• 为半阿贝尔簇的循环子群情形下的经典Mordell-Lang猜想获得了一个新证明。
• 本文证实了Keeler、Rogalski与Stafford的猜想：在自同构作用下，每个Zariski稠密轨道均为临界稠密。
• 对任意子簇V与点α，使得Φ^n(α) ∈ V的指标n的集合是有限个等差数列的并集。