[论文解读] The dynamics of a class of quasi-periodic Schrödinger cocycles

Kristian Bjerklöv|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文研究了大耦合常数下具有两个临界点的Morse函数的准周期Schrödinger丛的动态行为，证明了Lyapunov指数在所有能量下均匀地满足$\gtrsim \log\lambda$，并证明了相应的斜积映射恰好有两个遍历测度。此外，还证明了动态行为在谱集减去开隙边界的集合上恰好是极小的，该结果适用于几乎Mathieu算子。

ABSTRACT

Let $f:\mathbb{T} o\mathbb{R}$ be a Morse function of class $C^2$ with exactly two critical points, let $ω\in\mathbb{T}$ be Diophantine, and let $λ>0$ be sufficiently large (depending on $f$ and $ω$). For any value of the parameter $E\in \mathbb{R}$ we make a careful analysis of the dynamics of the skew-product map $$Φ_E(θ,r)=\left(θ+ω,λf(θ)-E-1/r ight),$$ acting on the "torus" $\mathbb{T} imes\widehat{\mathbb{R}}$. The map $Φ_E$ is intimately related to the quasi-periodic Schrödinger cocycle $(ω,A_E): \mathbb{T} imes \mathbb{R}^2 o \mathbb{T} imes \mathbb{R}^2$, $(θ,x)\mapsto (θ+ω, A_E(θ)\cdot x)$, where $A_E:\mathbb{T} o ext{SL}(2,\mathbb{R})$ is given by $A_{E}(θ)=\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & λf(θ)-E \end{matrix} ight), \quad E\in \mathbb{R}. $ More precisely, $(ω,A_E)$ naturally acts on the space $\mathbb{T} imes\widehat{\mathbb{R}}$, and $Φ_E$ is the map thus obtained. The analysis of $Φ_E$ allows us to derive three main results: (1) The (maximal) Lyapunov exponent of the Schrödinger cocycle $(ω,A_E)$ is $\gtrsim \log λ$, uniformly in $E\in \mathbb{R}$. This implies that the map $Φ_E$ has exactly two ergodic probability measures for all $E\in \mathbb{R}$; (2) If $E$ is on the edge of an open gap in the spectrum $σ(H)$ of the associated Schrödinger operator $H_θ$, then there exist a phase $θ\in\mathbb{T}$ and a vector $u\in l^2(\mathbb{Z})$, exponentially decaying at $\pm\infty$, such that $H_θu=Eu$; (3) The map $Φ_E$ is minimal iff $E\in σ(H)\setminus\{ ext{edges of open gaps}\}$. In particular, $Φ_E$ is minimal for all $E$ for which the fibered rotation number $α(E)$ associated to $(ω,A_E)$ is irrational with respect to $ω$.

研究动机与目标

• 理解当耦合常数$\lambda$较大且势函数为具有两个临界点的$C^2$ Morse函数时，准周期Schrödinger丛的动力学行为。
• 确定在所有能量$E\in\mathbb{R}$下，相关斜积映射$\Phi_E$的遍历概率测度的数量。
• 刻画Schrödinger算子$H_\theta$的谱结构与映射$\Phi_E$极小性之间的关系。
• 建立在谱集中开隙边界处，特征方程$H_\theta u = Eu$存在指数衰减解的条件。

提出的方法

• 分析由Schrödinger丛$(\omega, A_E)$导出的斜积映射$\Phi_E(\theta,r) = (\theta+\omega, \lambda f(\theta) - E - 1/r)$在$\mathbb{T} \times \widehat{\mathbb{R}}$上的动力学。
• 利用射影空间$\widehat{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}$研究丛的动力学，通过关联映射$\Phi_E$进行分析。
• 应用KAM型与摄动技术，在Diophantine频率$\omega$和大$\lambda$的条件下分析Lyapunov指数与谱性质。
• 利用纤维旋转数$\alpha(E)$刻画当$\alpha(E)$关于$\omega$为无理数时$\Phi_E$的极小性。
• 构造势函数$f$及其导数的显式估计，以控制临界点邻域内的动力学行为。
• 将问题约化为分析$\psi = s + w = \lambda f(\theta) - E - 1/r$及其导数的行为，利用对$g$、$h$和$s$的有界性控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$\lambda$较大且$f$为具有两个临界点的Morse函数时，Schrödinger丛$(\omega, A_E)$的Lyapunov指数$\gamma(E)$的行为如何？
• RQ2 在给定条件下，对于每个$E \in \mathbb{R}$，斜积映射$\Phi_E$拥有多少个遍历概率测度？
• RQ3 在何种谱条件下，映射$\Phi_E$是极小的？
• RQ4 在谱集$\sigma(H)$的开隙边界处，特征方程$H_\theta u = Eu$在何种条件下存在指数衰减解？
• RQ5 纤维旋转数$\alpha(E)$与$\Phi_E$的极小性之间有何关系？

主要发现

• 最大Lyapunov指数$\gamma(E)$满足对所有$E \in \mathbb{R}$一致有$\gamma(E) \gtrsim \log\lambda$，表明存在强双曲性。
• 由于大耦合常数和$f$的结构，映射$\Phi_E$对每个$E \in \mathbb{R}$恰好有两个遍历概率测度。
• 若$E$位于谱集$\sigma(H)$的开隙边界上，则存在某个相位$\theta$和一个属于$l^2(\mathbb{Z})$的解$u$，使得$H_\theta u = Eu$在$\pm\infty$处指数衰减。
• 映射$\Phi_E$是极小的当且仅当$E \in \sigma(H) \setminus \{\text{开隙边界}\}$，这包括所有满足纤维旋转数$\alpha(E)$关于$\omega$为无理数的$E$。
• 结果适用于几乎Mathieu算子，其中$f(\theta) = \cos(2\pi\theta)$，满足$f$的所需条件。
• 谱集$\sigma(H)$是一个Cantor集，且在这些假设下，$H_\theta$具有纯点谱，其特征函数在几乎所有$\theta \in \mathbb{T}$下指数衰减，该结论由Sinai建立。