[论文解读] The Dynamics of Conjunctive and Disjunctive Boolean Networks

Abdul Salam Jarrah, Reinhard Laubenbacher+1 more|ArXiv.org|May 2, 2008

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文建立了合取与析取布尔网络依赖图的拓扑结构与其动力学行为（特别是极限环结构和不动点）之间的精确对应关系。通过分析强连通分量及其循环数（不可约性的指标），利用最大-正则代数与生成函数，推导出强连通图的精确循环结构，并对一般图的循环长度与数量给出紧致界。

ABSTRACT

The relationship between the properties of a dynamical system and the structure of its defining equations has long been studied in many contexts. Here we study this problem for the class of conjunctive (resp. disjunctive) Boolean networks, that is, Boolean networks in which all Boolean functions are constructed with the AND (resp. OR) operator only. The main results of this paper describe network dynamics in terms of the structure of the network dependency graph (topology). For a given such network, all possible limit cycle lengths are computed and lower and upper bounds for the number of cycles of each length are given. In particular, the exact number of fixed points is obtained. The bounds are in terms of structural features of the dependency graph and its partially ordered set of strongly connected components. For networks with strongly connected dependency graph, the exact cycle structure is computed.

研究动机与目标

• 理解布尔网络依赖图的结构拓扑如何决定其动力学行为，特别是极限环与不动点。
• 建立一个理论框架，直接从图的拓扑结构预测相空间动力学（特别是循环结构），而无需仿真。
• 识别控制合取与析取网络中动力学的关键拓扑不变量，如循环数与强连通分量结构。
• 对每种长度的循环数量提供紧致的下界与上界，强连通情况下给出精确结果。

提出的方法

• 分析依赖图的强连通分量（SCCs）及其偏序关系，以分解网络动力学。
• 将每个SCC的循环数（不可约性的指标）作为决定循环结构的主要拓扑不变量。
• 应用最大-正则代数研究关联矩阵的幂，实现对循环长度与数量的精确计算。
• 构建循环结构的生成函数，并利用组合运算将独立SCCs之间的动力学组合起来。
• 通过结构图度量的多项式函数推导循环数量的界，其中下界已被证明为紧致。
• 采用W-运算来建模不相交分量间循环结构的传播，但表明当循环数为合数时，该运算并不总能保持结构不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 强连通依赖图的循环数如何精确决定合取与析取布尔网络中的循环结构？
• RQ2 在一般合取或析取网络中，每种长度的极限环数量的最紧致下界与上界是什么？
• RQ3 网络的循环结构能否从其强连通分量的循环结构及其拓扑排序中重构？
• RQ4 在何种条件下，网络的循环结构可清晰地表示为其各分量循环结构的函数？
• RQ5 结构特征如SCCs与循环数如何影响不动点与周期轨道的存在性及其长度？

主要发现

• 对于强连通依赖图，循环结构完全由循环数决定：若循环数为1，则恰好存在两个不动点；否则，长度等于循环数及其约数的循环将出现。
• 合取或析取网络中不动点的确切数量由循环数为1的强连通分量数量决定。
• 在一般图中，长度为d的循环数量的下界由循环数整除d的SCC数量决定，上界则源自关联矩阵的最大-正则代数结构。
• 循环数量的下界是紧致的，意味着对某些网络拓扑结构是可实现的。
• 对于具有多个SCC的网络，循环结构并不总是其分量结构的简单函数，反例表明W-运算在循环计数上并不总能保持结构。
• 当两个SCC的循环数互质时，全网络的循环结构等于各分量循环结构之和减去不动点，表明动力学存在某种独立性。