[论文解读] The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19

Aleksandar Bikov, Nedyalko Nenov|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文证明了边 Folkman 数 $F_e(3,3;4)$ 至少为 20，优于此前的下界 19。通过使用计算机辅助算法对极大 $K_4$-自由图进行穷尽分析，作者验证了不存在满足 Folkman 条件的 19 个顶点的图，从而确立了新的下界。该研究还收紧了顶点 Folkman 数 $F_v(2,3,3;4)$ 的边界，表明其位于 20 到 24 之间。

ABSTRACT

The set of the graphs which do not contain the complete graph on $q$ vertices $K_q$ and have the property that in every coloring of their edges in two colors there exist a monochromatic triangle is denoted by $\mathcal{H}_e(3, 3; q)$. The edge Folkman numbers $F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$ are considered. Folkman proved in 1970 that $F_e(3, 3; q)$ exists if and only if $q \geq 4$. From the Ramsey number $R(3, 3) = 6$ it becomes clear that $F_e(3, 3; q) = 6$ if $q \geq 7$. It is also known that $F_e(3, 3; 6) = 8$ and $F_e(3, 3; 5) = 15$. The upper bounds on the number $F_e(3, 3; 4)$ which follow from the construction of Folkman and from the constructions of some other authors are not good. In 1975 Erdos posed the problem to prove the inequality $F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$. This Erdos problem was solved by Spencer in 1978. The last upper bound on $F_e(3, 3; 4)$ was obtained in 2012 by Lange, Radziszowski and Xu, who proved that $F_e(3, 3; 4) \leq 786$. The best lower bound on this number is 19 and was obtained 10 years ago by Radziszowski and Xu. In this paper, we improve this result by proving $F_e(3, 3; 4) \geq 20$. At the end of the paper, we improve the known bounds on the vertex Folkman number $F_v(2, 3, 3; 4)$ by proving $20 \leq F_v(2, 3, 3; 4) \leq 24$.

研究动机与目标

• 改进边 Folkman 数 $F_e(3,3;4)$ 的下界，即不含 $K_4$ 且每个 2-边着色均含单色三角形的图的最小顶点数。
• 解决拉姆齐理论中关于此类图的存在性与极小性（有界团数）的开放问题。
• 将分析扩展至顶点 Folkman 数 $F_v(2,3,3;4)$，进一步收紧其已知边界。

提出的方法

• 开发了一种计算机算法（算法 2.4），用于生成并分析所有 15 个顶点的极大 $K_4$-自由图，且独立数不超过 5。
• 利用 $\mathcal{H}_e(3,3;4)$ 中任意图的色数至少为 6 的性质，以此约束候选图。
• 对 $\mathcal{L}(15;1)$ 中的全部 2,081,234 个图执行系统性搜索，识别出不属于 $\mathcal{H}_v(3,3;4;15)$ 的图，并用其检测 $F_e(3,3;4)$ 的违反配置。
• 应用命题 4.2 和 4.3 以限制潜在极小图的结构，特别是通过分析顶点删除和诱导子图。
• 通过检查算法 2.4 第 4 步后 $\mathcal{B}$ 中的所有候选图，验证了不存在满足 Folkman 条件的 19 个顶点图。
• 对最多 31 个顶点的顶点传递图进行了独立搜索，以识别属于 $\mathcal{H}_v(2,3,3;4)$ 的图，从而得出上界 24。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 19 个顶点的图，不含 $K_4$，且每个 2-边着色均含单色三角形？
• RQ2 能否通过计算枚举将 $F_e(3,3;4)$ 的下界进一步提升至 19 以上？
• RQ3 目前对顶点 Folkman 数 $F_v(2,3,3;4)$ 的最紧边界是什么？
• RQ4 是否存在 19 个顶点的极大 $K_4$-自由图，满足边着色下的 Folkman 性质？
• RQ5 能否利用极大 $K_4$-自由图的结构来证明更小 Folkman 图的不存在性？

主要发现

• 边 Folkman 数 $F_e(3,3;4)$ 至少为 20，优于此前的下界 19。
• 通过算法 2.4 的穷尽搜索，确认不存在属于 $\mathcal{H}_e(3,3;4)$ 的 19 个顶点图。
• 顶点 Folkman 数 $F_v(2,3,3;4)$ 满足 $20 \leq F_v(2,3,3;4) \leq 24$，优于此前的边界 $19 \leq F_v(2,3,3;4) \leq 30$。
• 发现了一个 24 个顶点的顶点传递图，属于 $\mathcal{H}_v(2,3,3;4)$，且其为极小图（即其任意真子图均不满足条件）。
• 该算法成功识别出所有 2,081,234 个 15 个顶点的极大 $K_4$-自由图（独立数不超过 5），并验证了 $\mathcal{L}(15;1) \setminus \mathcal{H}_v(3,3;5;15)$ 中的 20 个例外图均不满足 Folkman 条件。
• 搜索结果表明 $\mathcal{H}_v(3,3;4;14) = \mathcal{L}(14;1)$，但 $\mathcal{H}_v(3,3;4;15) \neq \mathcal{L}(15;1)$，突显了图空间中的结构性差异。