[论文解读] The edge spectrum of $K_4^-$-saturated graphs

Jun Gao, Xinmin Hou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2018

Graph theory and applications参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过证明任何边数超过 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ 的 $K_4^-$-饱和图必为二分图，并构造了边数位于区间 $[3n-11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 内的非二分 $K_4^-$-饱和图，从而完全确定了 $K_4^-$-饱和图的边谱，解决了 Fuller 和 Gould 的一个猜想。

ABSTRACT

Given graphs $G$ and $H$, $G$ is $H$-saturated if $G$ does not contain a copy of $H$ but the addition of any edge $e otin E(G)$ creates at least one copy of $H$ within $G$. The edge spectrum of $H$ is the set of all possible sizes of an $H$-saturated graph on $n$ vertices. Let $K_4^-$ be a graph obtained from $K_4$ by deleting an edge. In this note, we show that (a) if $G$ is a $K_4^-$-saturated graph with $|V(G)|=n$ and $|E(G)|>\lfloor \frac{n-1}{2} floor \lceil \frac{n-1}{2} ceil +2$, then $G$ must be a bipartite graph; (b) there exists a $K_4^-$-saturated non-bipartite graph on $n\ge 10$ vertices with size being in the interval $\left[3n-11, \left\lfloor \frac{n-1}{2} ight floor \left\lceil \frac{n-1}{2} ight ceil +2 ight]$. Together with a result of Fuller and Gould in [{\it On ($\hbox{K}_t-e$)-Saturated Graphs. Graphs Combin., 2018}], we determine the edge spectrum of $K_4^-$ completely, and a conjecture proposed by Fuller and Gould in the same paper also has been resolved.

研究动机与目标

• 为了完全刻画 $K_4^-$-饱和图的边谱，尽管在相关图上已有进展，但该问题仍未解决。
• 为解决 Fuller 和 Gould 关于 $K_4^-$-饱和图在接近 Turán 数时结构的猜想。
• 确定 $n$ 个顶点的 $K_4^-$-饱和图的所有可能边数，填补 $t \geq 4$ 的 $K_t^-$-饱和图在文献中的空白。

提出的方法

• 通过最短奇圈论证和边数界限定理，证明任何边数超过 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ 的 $K_4^-$-饱和图必为二分图。
• 通过结构化的顶点划分和边集设计，构造一族可控边数的非二分 $K_4^-$-饱和图 $F_n(a,b)$。
• 分析边数函数 $f_n(a,b) = b(n - b - 3) + n + a - b + 1$，证明当 $n \geq 10$，$b \geq 2$，$a \geq 0$，$n \geq a + b + 5$ 时，该函数覆盖区间 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$。
• 通过分析边的类型，验证 $F_n(a,b)$ 的 $K_4^-$-饱和性，即添加任意缺失边都会产生一个 $K_4^-$。
• 利用已知的饱和数 $\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\rfloor$ 和 Turán 数 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rfloor$ 作为边界，完成边谱的构建。
• 结合 Fuller 和 Gould 的前期工作，将上述结果整合，确立完整的边谱为若干区间的并集与一个孤立点。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何边数超过 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ 的 $K_4^-$-饱和图是否必为二分图？
• RQ2 是否存在边数位于区间 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 内的非二分 $K_4^-$-饱和图？
• RQ3 所有边数位于上层区间 $[\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 3, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rfloor]$ 的 $K_4^-$-饱和图是否必为完全二分图或三部图（其中两部分大小相等，一部分为单点）？
• RQ4 Fuller 和 Gould 关于 $K_4^-$-饱和图在上层边数范围的结构猜想是否正确？
• RQ5 在 $n$ 个顶点上，$K_4^-$-饱和图的所有可能边数集合是什么？

主要发现

• 任何边数超过 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ 的 $K_4^-$-饱和图必为二分图，该结论通过最短奇圈论证和边数界限定理得到证明。
• 当 $n \geq 10$ 时，存在边数位于区间 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 内的非二分 $K_4^-$-饱和图，这些图通过族 $F_n(a,b)$ 构造而成。
• 对于 $n \geq 10$，$K_4^-$ 的边谱被完全确定为 $\left\{\left\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\right\rfloor\right\} \cup [2n - 4, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2] \cup \{i(n-i) \mid i \in [1, n-1]\}$，结合了已知与新结果。
• 通过调节参数 $a$ 和 $b$（其中 $b \geq 2$，$a \geq 0$，$n \geq a + b + 5$），构造 $F_n(a,b)$ 实现了 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 内的所有边数，且边数函数在 $b$ 上为凹函数，在 $a$ 上单调递增。
• Fuller 和 Gould 关于 $K_4^-$-饱和图在接近 Turán 数时的结构猜想被证实为真，该结论适用于区间 $[\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 3, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rfloor]$，该区间仅包含两部分大小几乎相等的完全二分图或两部分大小相等、一部分为单点的三部图。
• 完整的边谱包含一个孤立点 $\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\rfloor$（即饱和数），以及两个区间：从 $2n - 4$ 到 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$（由非二分图覆盖），以及 $i(n-i)$（$i \in [1, n-1]$）（由完全二分图覆盖）。