[论文解读] The effect of deformation of special relativity by conformable derivative

A. Al-Jamel, Mohamed Ghaleb Al-Masaeed+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2021

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一句话总结

本文通过共形分数阶导数对狭义相对论进行变形，重新定义了洛伦兹变换与基本假设，构建了分数阶框架下的相对论形式体系。推导出保持光速不变的α-速度叠加律，并证明了共形波方程、薛定谔方程与戈登-克莱因方程在共形洛伦兹变换下的洛伦兹协变性，为非线性或色散介质建立了自洽的相对论形式体系。

ABSTRACT

In the article, the deformation of special relativity within the frame of conformable derivative is formulated. Within this context, the two postulates of the theory were re-stated. And, the addition of velocity laws were derived and used to verify the constancy of the speed of light. The invariance principle of the laws of physics is demonstrated for some typical illustrative examples, namely, the conformable wave equation, the conformable Schrodinger equation, and the conformable Gordon-Klein equation. The current formalism may be applicable when using special relativity in a nonlinear or dispersive medium.

研究动机与目标

• 通过共形分数阶导数重构爱因斯坦的狭义相对论，以建模非线性或色散介质中的相对论物理。
• 在共形导数框架下重新表述狭义相对论的两条基本假设——光速不变性与物理定律的协变性。
• 推导并验证一种α-速度叠加律，确保在共形洛伦兹变换下光速的不变性。
• 验证关键物理方程（共形波方程、薛定谔方程与戈登-克莱因方程）在α-洛伦兹变换下的不变性。
• 构建包含协变与逆变位移、算符及α-达朗贝尔算子的共形四维矢量形式体系，以实现一致的相对论动力学。

提出的方法

• 引入阶数为α的共形导数定义为 Dα_t f(t) = lim_{ε→0} [f(t + εt^{1−α}) − f(t)] / ε，使分数阶微积分具备标准微积分的性质。
• 利用α-变形的爱因斯坦因子 Γα = 1 / √(1 − v²α/c²α) 定义α-洛伦兹变换，修改时空坐标。
• 推导出α-速度叠加律：u′_α = (u_α − v_α) / (1 − v_α u_α / c²α)，证明光速c在变换下保持不变。
• 应用链式法则与共形偏导数，检验共形波方程 ∇²αΨ − (1/c²α) Dα_t Dα_t Ψ = 0 的协变性。
• 构建包含α-协变与α-逆变位移的共形四维矢量，定义α-达朗贝尔算子 ∂α_μ ∂μ,α = (1/c²α) ∂²α/∂t²α − ∇²α。
• 将该形式体系推广至共形狄拉克方程，通过满足 SγμS⁻¹ αΛν_μ = γν 的变换矩阵S，证明其洛伦兹协变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在共形分数阶导数框架下重新定义狭义相对论的基本假设？
• RQ2 由共形洛伦兹变换导出的α-速度叠加律是否保持光速不变？
• RQ3 如共形波方程、薛定谔方程与戈登-克莱因方程等基本方程是否在α-洛伦兹变换下保持不变？
• RQ4 能否构建一个自洽的共形四维矢量形式体系，包含α-达朗贝尔算子与能量-动量算符？
• RQ5 共形狄拉克方程在α-洛伦兹变换下是否具有洛伦兹协变性，且存在合适的变换矩阵S？

主要发现

• α-速度叠加律 u′_α = (u_α − v_α) / (1 − v_α u_α / c²α) 确保当 u_α = c 时，有 u′_α = c，证实光速在所有α-惯性参考系中保持不变。
• 共形波方程 ∇²αΨ − (1/c²α) Dα_t Dα_t Ψ = 0 在α-洛伦兹变换下保持不变，通过链式法则与坐标变换的应用得以证明。
• 共形薛定谔方程 iħα ∂αΨ/∂tα = EαΨ 与α-洛伦兹形式体系一致，其能量-动量四维矢量以协变形式表示为 Pα_μ = (Eα/cα, −p̂α)。
• 共形戈登-克莱因方程 [∂α_μ ∂μ,α + m²α c²α / ħ²α]Ψ = 0 在α-洛伦兹变换下保持不变，证实其相对论一致性。
• 共形狄拉克方程 [iγμ ∂α_μ − mα]Ψ = 0 具有洛伦兹协变性，变换矩阵S满足 SγμS⁻¹ αΛν_μ = γν，确保其在α-洛伦兹提升下的不变性。
• α-洛伦兹变换矩阵 αΛμ_ν 与 αΛν_μ 以逆变与协变形式分别导出，且通过度量变换验证了逆关系 (αΛμ_ν)⁻¹ = αΛν_μ。