[论文解读] The effect of scalings and translations on the supersymmetric structure of soliton systems

Adrián Arancibia, Mikhail S. Plyushchay+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文研究了具有 n 个间隙的孤立子势中 n 个缩放参数和 n 个平移参数下的规范对称性，表明超代数结构取决于离散能级构型。当能级重合时，规范对称性降低，互换生成元的阶数下降，并引入对相对平移的依赖性；当所有缩放参数完全匹配时，出现等谱性，并在 AKNS 层次中产生一类新的有限间隙一阶 Bogoliubov-de Gennes 系统。

ABSTRACT

We investigate a peculiar supersymmetry of the pairs of reflectionless quantum systems described by n-gap soliton potentials of a general form that depends on n scaling and n translation parameters. We show that if all the discrete energy levels of the subsystems are different, the superalgebra, being insensitive to translation parameters, is generated by two supercharges of differential order 2n, two supercharges of order 2n+1, and two bosonic integrals of order 2n+1 composed from Lax integrals of the partners. The exotic supersymmetry undergoes a reduction when r discrete energy levels of one subsystem coincide with any r discrete levels of the partner, the total order of the two independent intertwining generators reduces then to 4n-2r+1, and the nonlinear superalgebraic structure acquires a dependence on r relative translations. For a complete pairwise coincidence of the scaling parameters which control the energies of the bound states and the transmission scattering amplitudes, the emerging isospectrality is detected by a transmutation of one of the Lax integrals into a bosonic central charge. Within the isospectral class, we reveal a special case giving a new family of finite-gap first order Bogoliubov-de Gennes systems related to the AKNS integrable hierarchy.

研究动机与目标

• 分析缩放和平移参数如何影响具有 n 个间隙孤立子势的无反射量子系统中的规范对称性结构。
• 确定当伙伴系统的离散能级重合时，超代数如何变化。
• 确定通过将 Lax 积分转化为中心荷而实现等谱性的条件。
• 从该规范对称性框架中发现第一阶 Bogoliubov-de Gennes 系统的新有限间隙解。
• 表征非线性超代数结构在能级简并情况下的相对平移依赖性。

提出的方法

• 从伙伴系统的 Lax 积分推导出阶数为 2n 和 2n+1 的超荷。
• 从 Lax 积分构造阶数为 2n+1 的玻色子积分，构成超代数的一部分。
• 分析在能级简并情况下的超代数行为，特别是当一个系统的 r 个能级与伙伴系统的能级重合时。
• 当 r 个能级重合时，独立互换生成元的总阶数从 4n 降低至 4n−2r+1。
• 当缩放参数完全匹配时，通过将一个 Lax 积分化为玻色子中心荷，识别出等谱性。
• 应用 AKNS 可积层次对所得有限间隙系统进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 缩放和平移参数如何影响 n 个间隙孤立子势的规范对称性结构？
• RQ2 当一个子系统的 r 个离散能级与伙伴系统的能级重合时，超代数会发生什么变化？
• RQ3 在何种条件下，Lax 积分化为玻色子中心荷，从而导致等谱性？
• RQ4 能否从该规范对称性框架中推导出一类新的有限间隙一阶 Bogoliubov-de Gennes 系统？
• RQ5 在能级简并存在的情况下，非线性超代数结构如何依赖于相对平移？

主要发现

• 超代数由两个阶数为 2n 的超荷、两个阶数为 2n+1 的超荷，以及两个阶数为 2n+1 的玻色子积分生成，且与平移参数无关。
• 当伙伴系统之间有 r 个离散能级重合时，独立互换生成元的总阶数降低至 4n−2r+1。
• 由于能级简并，非线性超代数显式依赖于 r 个相对平移。
• 当缩放参数完全成对重合时，通过将一个 Lax 积分化为玻色子中心荷，诱导出等谱性。
• 在等谱类中，识别出一类新的有限间隙一阶 Bogoliubov-de Gennes 系统，其与 AKNS 可积层次相关联。
• 该结构揭示了通过参数依赖的超代数约化，规范对称性、孤立子势与可积系统之间存在新颖的联系。