[论文解读] The effective action in Coulomb gauge QCD

A. Andraši, J. C. Taylor|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文通过将此前仅适用于横向外部胶子的收敛组合方法扩展至包含纵向外部场，解决了库仑规范QCD中两圈费曼积分的能量发散问题。通过引入参数为θ的插值流规范，作者表明有效作用量Γ在库仑规范极限（θ→0）下存在，且BRST恒等式在图层面成立，发散积分通过如式(1.2)中的对称组合Ξ被转化为收敛形式，从而得到有限且与k₀无关的结果，例如∫dp₀dq₀Ξ = −π²。

ABSTRACT

At 2-loop order, Feynman integrals in the Coulomb gauge are divergent over the internal energy variables. Nevertheless, it is known how to calculate the effective action provided that the external gluon fields are all transverse. We show that, for the two-gluon Greens function as an example, the method can be extended to include longitudinal external fields. The longitudinal Greens functions appear in the BRST identities. As an intermediate step, we use a flow gauge, which interpolates between the Feynman and Coulomb gauges.

研究动机与目标

• 将库仑规范QCD中两圈费曼积分的收敛性从仅限于横向外部胶子场扩展至包含纵向分量。
• 在单个费曼积分存在能量发散的情况下，确立有效作用量Γ在库仑规范下的存在性。
• 通过使用参数为θ的流规范正则化，验证BRST恒等式（Ward恒等式）在库仑规范下仍能一致成立，方法是通过调节发散积分。
• 证明流规范中θ→0的极限能为有效作用量和格林函数提供有限且明确定义的贡献。
• 证明此前仅适用于横向场的发散积分，可通过如式(1.2)中的对称组合Ξ实现收敛，且其结果与外部能量k₀无关。

提出的方法

• 使用参数θ的插值流规范，将费曼规范（θ=1）平滑连接至库仑规范（θ→0），从而实现对能量发散积分的正则化。
• 对紫外发散使用维度正则化，同时利用流规范控制维度正则化无法处理的能量发散。
• 构造费曼积分的收敛组合，如式(1.2)中的Ξ，其在动量循环置换下具有对称性，且与外部能量k₀无关。
• 利用恒等式∫dp₀dq₀dr₀δ(p₀+q₀+r₀−k₀)Ξ = −π²计算能量积分，确保结果有限且规范不变。
• 通过有效作用量Γ的泛函导数推导BRST恒等式，结合动量空间中格林函数的傅里叶变换。
• 取流规范结果中θ→0的极限，表明单个图虽发散，但其在Γ中的组合形式为有限且明确定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在外部胶子为纵向而非仅横向时，库仑规范QCD中的两圈费曼积分能否实现收敛？
• RQ2 尽管单个费曼图存在能量发散，有效作用量Γ在库仑规范下是否存在？
• RQ3 在纵向格林函数存在能量发散的情况下，BRST恒等式能否在库仑规范下一致成立？
• RQ4 流规范正则化中θ→0的极限对有效作用量及其格林函数是否明确定义？
• RQ5 式(1.2)中的收敛组合Ξ能否扩展至包含纵向外部场，同时保持有限性和与k₀无关性？

主要发现

• 发散的两圈积分∫dp₀dq₀(p₀/(p₀²−P²+iε))(q₀/(q₀²−Q²+iε))通过如式(1.2)中的对称组合Ξ实现收敛，且其结果与外部能量k₀无关。
• 能量积分∫dp₀dq₀dr₀δ(p₀+q₀+r₀−k₀)Ξ的值为−π²，为有限且与k₀无关的结果，证实了组合振幅的收敛性。
• 在流规范的θ→0极限下，库仑规范中的有效作用量Γ是明确定义的，通过对称组合实现了图层面的收敛。
• 出现在BRST恒等式中的格林函数的纵向分量，通过流规范被一致正则化，且由于θ抑制的耦合，其在θ→0极限下贡献消失。
• 如E1和E11这样的图向Ward恒等式贡献了依赖于能量的项，如−π²k₀/(k₀²−(P+Q+R)²)，与Π_ij的k₀无关项相互平衡，确保了恒等式的自洽性。
• 在库仑规范下，BRST恒等式简化为一个简单的Ward恒等式，仅保留K_iΠ_ij项，而涉及Π^(u)_j和Π^(v)_j的项在θ→0极限下消失。