[论文解读] The effective Hamiltonian of the Pound-Overhauser controlled-NOT gate

David G. Cory, A. E. Dunlop+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 1998

Advanced NMR Techniques and Applications参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文推导了核磁共振量子计算中Pound-Overhauser受控-非门的精确有效哈密顿量，通过考虑非共振效应和相位因子，修正了先前近似中的不准确之处。结果表明，无论是在共振跃迁上还是在共振频率上施加射频辐射，均可精确实现受控-非门，仅存在条件相位，文中提供了这些相位的解析表达式，并通过仿真和实验加以验证。

ABSTRACT

In NMR-based quantum computing, it is known that the controlled-NOT gate can be implemented by applying a low-power, monochromatic radio-frequency field to one peak of a doublet in a weakly-coupled two-spin system. This is known in NMR spectroscopy as Pound-Overhauser double resonance. The ``transition'' Hamiltonian that has been associated with this procedure is however only an approximation, which ignores off-resonance effects and does not correctly predict the associated phase factors. In this paper, the exact effective Hamiltonian for evolution of the spins' state in a rotating frame is derived, both under irradiation of a single peak (on-transition) as well as between the peaks of the doublet (on-resonance). The accuracy of these effective Hamiltonians is validated by comparing the observable product operator components of the density matrix obtained by simulation to those obtained by fitting the corresponding experiments. It is further shown how both the on-transition and on-resonance fields can be used to implement the controlled-NOT gate exactly up to conditional phases, and analytic expressions for these phases are derived. In Appendices, the on-resonance Hamiltonian is analytically diagonalized, and proofs are given that, in the weak-coupling approximation, off-resonance effects can be neglected whenever the radio-frequency field power is small compared to the difference in resonance frequencies of the two spins.

研究动机与目标

• 修正先前在核磁共振量子计算中用于Pound-Overhauser受控-非门的近似跃迁哈密顿量中的不准确之处。
• 在单峰激发（共振跃迁）和双峰之间激发（共振）两种射频辐射条件下，推导旋转参考系中自旋演化的精确有效哈密顿量。
• 通过将模拟的产物算符分量与实验数据对比，验证所推导哈密顿量的准确性。
• 为受控-非门实现过程中引入的条件相位因子提供解析表达式。
• 证明在弱耦合近似下，无论是在共振跃迁上还是在共振频率上施加射频辐射，均可精确实现受控-非门。

提出的方法

• 利用旋转参考系变换，推导单色射频辐射下两自旋系统的精确有效哈密顿量。
• 分析系统在两种条件下的行为：在单个共振峰上施加辐射（在跃迁上）和在双峰之间施加辐射（在共振时）。
• 采用旋转波近似和弱耦合假设，简化时间演化算符并推导有效哈密顿量。
• 通过模拟密度矩阵的时间演化，并将所得产物算符分量与实验测量结果对比，验证所推导的哈密顿量。
• 在附录中对共振时的哈密顿量进行了解析对角化，以确认其结构和本征值。
• 证明当射频场功率远小于两自旋间化学位移差时，非共振效应可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在旋转参考系中，Pound-Overhauser双共振作用下，两自旋系统的精确有效哈密顿量是什么？
• RQ2 非共振效应对核磁共振量子计算中受控-非门的实现有何影响？
• RQ3 是否可同时使用在跃迁上和在共振频率上的射频辐射来实现高保真度的受控-非门？
• RQ4 在门操作过程中引入的条件相位因子的解析表达式是什么？
• RQ5 在存在非共振激发的情况下，弱耦合近似在多大程度上能准确描述系统动力学？

主要发现

• 推导了Pound-Overhauser受控-非门在跃迁上和共振时的精确有效哈密顿量，修正了先前的近似。
• 所推导的哈密顿量能准确预测密度矩阵的产物算符分量，模拟结果与实验数据高度一致。
• 条件相位因子被解析推导，并证明其对精确门实现至关重要，其数值取决于辐射条件。
• 在附录中对共振时的哈密顿量进行了解析对角化，确认了其在弱耦合近似下的结构和本征值。
• 证明当射频场功率远小于两自旋间化学位移差时，非共振效应可忽略。
• 在跃迁上和在共振频率上的辐射方案均可精确实现受控-非门，仅存在明确定义的条件相位，从而为核磁共振量子计算中的鲁棒门设计提供了支持。