[论文解读] The effects of interactions on the topological classification of free fermion systems

Lukasz Fidkowski, Alexei Kitaev|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2009

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用 6

一句话总结

本文通过构建一个从两个具有相同模 8 的 ℤ 不变量的物相之间的显式绝热路径，证明了相互作用可将一维无相互作用费米子系统的拓扑分类从 ℤ 降低到 ℤ₈，模型采用八个耦合的马约拉纳链并具有满足 T²=1 的 T 对称性。通过一个强相互作用的能隙区域避免了相变，临界点由二维伊辛普适类描述。

ABSTRACT

We describe in detail a counterexample to the topological classification of free fermion systems. We deal with a one dimensional chain of Majorana fermions with an unusual T symmetry. The topological invariant for the free fermion classification is an integer, but with the introduction of interactions it becomes well defined only modulo 8. We illustrate this in the microscopic model of the Majorana chain by constructing an explicit path between two distinct free phases whose topological invariants are equal modulo 8, along which the system remains gapped. The path goes through a strongly interacting region. We also find the field theory interpretation of this phenomenon. There is a second order phase transition between the two phases in the free theory which can be avoided by going through the strongly interacting region. We show that this transition is in the 2D Ising universality class, where a first order phase transition line, terminating at a second order transition, can be avoided by going through the analogue of a high temperature paramagnetic phase. In fact, we construct the full phase diagram of the system as a function of the thermal operator (i.e. the mass term that tunes between the two phases in the free theory) and two quartic operators, obtaining a first order Peierls transition region, a second order transition region, and a region with no transition.

研究动机与目标

• 研究相互作用是否能通过绝热过程连接自由费米子系统中由 ℤ 不变量分类的相异拓扑相。
• 构建一个具有 T²=1 对称性的八个耦合马约拉纳链的显微模型，以证明 ℤ 分类的破坏。
• 通过显式哈密顿量路径证明，由于相互作用的存在，拓扑不变量被降低为 ℤ₈。
• 通过热力学和序参量算符分析相图，识别一阶、二阶相变及无相变区域。
• 通过二维伊辛模型提供场论解释，展示在避免的相变点处的临界行为。

提出的方法

• 构建一个具有 T 对称性（满足 T²=1）的八个平行马约拉纳链的哈密顿量，其中 T 通过改变奇数位上马约拉纳算符的符号来作用。
• 引入一个 T 不变的四次相互作用项，使八个边界马约拉纳模式能隙化，从而实现 k=0 和 k=8 两相之间的绝热连接。
• 使用马约拉纳费米子 ψ_j 及其双线性形式，将显微模型映射到连续场论，识别在相互作用存在下的有效低能理论。
• 使用泡利克公式计算与四次相互作用及热力学算符相关的耦合常数 A 和 B 的运行。
• 分析 RG 流图以识别固定点和相界，表明 B>0 且位于 B=-2A 之上的区域对应一阶相变。
• 将 B<0 区域识别为属于二维伊辛普适类，m>0 和 m<0 相之间的相变通过顺磁相区域避免。

实验结果

研究问题

• RQ1 在引入相互作用后，两个在自由费米子分类中具有相同 ℤ 拓扑不变量的相是否能通过绝热过程连接？
• RQ2 T 对称性（满足 T²=1）在改变一维马约拉纳链的拓扑分类中起什么作用？
• RQ3 引入一个 T 不变的四次相互作用如何实现对八个边界马约拉纳模式的能隙化？
• RQ4 在相互作用系统中，m>0 和 m<0 相之间避免的相变属于何种普适类？
• RQ5 热力学和序参量算符的相互作用如何导致包含一阶、二阶及无相变区域的完整相图的形成？

主要发现

• 通过在 k=0 和 k=8 两相之间构建显式绝热路径，证明了由于相互作用的存在，自由费米子系统的 ℤ 拓扑不变量被降低为 ℤ₈。
• 在自由理论中通过二阶相变分隔的两个相，通过一个强相互作用且能隙化的区域实现绝热连接，证明了它们在拓扑上是等价的。
• m>0 和 m<0 相之间的临界点属于二维伊辛普适类，相变通过 B<0 区域避免。
• 相图包含一个一阶相变区域（B>0，位于 B=-2A 之上）、一个二阶相变区域（靠近 B=0）以及一个无相变区域（B<0，位于 B=2A 之上）。
• 在相互作用区域，有效低能理论由带质量项的自由费米子描述，质量符号由序参量凝聚控制。
• 耦合常数 A 和 B 的重整化群流方程表明，直线 B=2A 是一个固定线，流结构证实了具有定性不同临界行为的相区的存在。